- •Интегральное исчисление функций нескольких переменных
- •I. Двойной интеграл
- •§1. Понятие двойного интеграла
- •1. Квадрируемые фигуры и их площади
- •2. Задача об объёме цилиндрического бруса
- •3. Определение двойного интеграла
- •4. Геометрический смысл двойного интеграла
- •5. Ограниченность интегрируемой функции
- •§2. Условия существования двойного интеграла
- •1. Нижняя и верхняя суммы Дарбу
- •2. Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •3. Интегрируемость непрерывной функции
- •§3. Основные свойства двойного интеграла
- •§4. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием
- •1. Повторные интегралы
- •2. Вычисление двойного интеграла
- •§5. Замена переменных в двойном интеграле
- •1. Отображение плоских областей
- •2. Площадь в криволинейных координатах
- •3. Замена переменной в двойном интеграле
- •4. Двойной интеграл в полярных координатах
- •§6. Приложения двойного интеграла
- •1. Площадь поверхности
- •2. Физические приложения двойного интеграла
- •II. Тройной интеграл
- •§1. Определение тройного интеграла и условия его существования
- •1. Кубируемое тело и его объем
- •2. Задача о вычислении массы тела
- •3. Определение тройного интеграла
- •4. Физический смысл тройного интеграла
- •5. Условия существования тройного интеграла
- •§2. Вычисление тройного интеграла
- •1. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному
- •2. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
Интегральное исчисление функций нескольких переменных
I. Двойной интеграл
§1. Понятие двойного интеграла
1. Квадрируемые фигуры и их площади
Определение. Плоской фигурой F называется ограниченная замкнутая область из . Множество всех граничных точек фигуры F называется её границей и обозначается .
Определение. Многоугольником называется плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной.
Многоугольная фигура P – объединение нескольких многоугольников.
Понятие площади многоугольной фигуры и её свойства известны (из курса геометрии). Площадь обозначим .
Свойства площади многоугольной фигуры
.
Если , и P1 и P2 не имеют общих внутренних точек, то (аддитивность).
Если P1=P2, то (инвариантность).
Если то (монотонность)
П усть дана плоская фигура F, ограниченная одной или несколькими замкнутыми кривыми. Рассмотрим всевозможные многоугольные фигуры Р, целиком содержащиеся в F, и многоугольные фигуры Q, целиком содержащие в себе F: . Для их площадей справедливо .
Рассмотрим 2 числовых множества: и . Множество ограничено сверху любым числом из . Следовательно, имеет верхнюю грань, то есть . выполнено . Следовательно, , то есть ограничено снизу. Следовательно, . Ясно, что . Тогда выполнено
.
Определение. Фигура F называется квадрируемой, если . При этом называется площадью фигуры F.
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие квадрируемости). Пусть дана произвольная плоская фигура F. Для квадрируемости плоской фигуры F необходимо и достаточно, чтобы , такие, что .
Теорема 2. Фигура F квадрируема, если её границу можно разбить на конечное число частей, каждая из которых представляют собой кривую вида y=f(x), x[a;b] или x=φ(y), y[c;d], где f и φ – непрерывные функции.
Определение. Кривая L называется гладкой, если он задана параметрическими уравнениями
где определены и непрерывно дифференцируемы на [α;β], и t[α;β].
Кривая называется кусочно-гладкой, если её множество разбить на конечное число гладких кривых.
Теорема 3. Фигура F квадрируема, если её граница является гладкой или кусочно-гладкой кривой.
Площадь плоской фигуры обладает теми же свойствами, что и площадь многоугольной фигуры:
.
Если , и F1 и F2 не содержит общих внутренних точек, то .
Если F1=F2, то .
Если то .
2. Задача об объёме цилиндрического бруса
П усть тело V ограничено: снизу - плоской фигурой P, лежащей в плоскости XOY, сверху – поверхностью z=f(x;y), где f – неотрицательная и непрерывная на P функция, с боков – цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси OZ. Такое тело называется цилиндрическим брусом. Найдём объём тела V. Разобьём область Р сетью кривых на n частей P1, P2,…,Pn. На контуре каждой части Pk построим поверхность с образующей, параллельной оси OZ. Эта поверхность вырежет в теле столбик Vk с основанием Pk. Таких столбиков будет n, и в совокупности они составят всё тело V. Сумма объёмов всех Vk даст объём тела V. Выберем в каждой части Pk произвольную точку и вычислим в ней значение функции . Затем каждый цилиндрический столбик Vk заменим прямым цилиндром с основанием Pk и высотой zk. Тогда объём цилиндрического столбика Vk приблизительно равен объёму этого прямого цилиндра: .
Просуммировав эти выражения по , получим объём V:
.
Это равенство тем точнее, чем мельче разбиение области P на части Pk.
Диаметром замкнутой области P называется наибольшее расстояние между двумя точками её границы. Пусть -диаметр Pk. Обозначим . Пусть , тогда то есть
.