Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг их осей.

Сфера образуется вращением окружности вокруг её диаметра.

Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси.

Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг её оси.

Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг её мнимой оси. Эта поверхность образуется также вращением прямой.

Двуполостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг её действительной оси.

При вращении асимптот гиперболы образуется конус вращения, который называется асимптотическим по отношению к поверхности гиперболоида.

Все рассмотренные поверхности вращения являются поверхностями второго порядка.

Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг оси, не являющейся осью кривой, но расположенной в её плоскости. Существует теорема: "При вращении плоской или пространственной алгебраической кривой n-го порядка вокруг произвольной оси образуется алгебраическая поверхность вращения, имеющая в общем случае порядок 2n". Из этой теоремы следует, что при вращении кривой второго порядка вокруг оси, не являющейся осью кривой, но расположенной в её плоскости, образуется поверхность четвертого порядка. Наиболее распространенной поверхностью четвертого порядка является тор (рисунок 4.22).

Рисунок 4.22 - Тор

Тором называется поверхность, образованная вращением окружности вокруг оси, принадлежащей плоскости окружности, но не проходящей через её центр. При этом ось вращения может пересекать окружность, касаться её и располагаться вне окружности. В первых двух случаях тор называется закрытым, в последнем - открытым или кольцом.

Каналовые и циклические поверхности

Каналовой называют поверхность, образованную непрерывным каркасом замкнутых плоских сечений, определенным образом ориентированных в пространстве (рисунок 4.23). Площади этих сечений могут оставаться постоянными или монотонно изменяться в процессе перехода от одного сечения к другому.

Рисунок 4.23 - Каналовые поверхности

В инженерной практике наибольшее распространение получили два способа ориентирования плоскостей образующих:

-параллельно какой-либо плоскости - каналовые поверхности с плоскостью параллелизма;

-перпендикулярно к направляющей линии - прямые каналовые поверхности.

Каналовая поверхность может быть использована для создания переходных участков между двумя поверхностями типа трубопроводов, имеющих:

-различную форму, но одинаковую площадь нормального сечения;

-одинаковую форму, но различные площади сечения;

-различную форму и различные площади поперечных сечений.

Поверхность Эшера - это каналовая поверхность, направляющей которой является пространственный трехлистник (рисунок 4.24). Последний можно представить как нить, намотанную по поверхности тора.

Рисунок 4.24 - Поверхность Эшера

Циклическую поверхность (рисунок 4.25) можно рассматривать как частный случай каналовой поверхности. Она образуется с помощью окружности, центр которой перемещается по криволинейной направляющей. В процессе движения радиус окружности монотонно меняется.

Рисунок 4.25 - Циклическая поверхность

Трубчатая поверхность (рисунок 4.26) относится к группе нелинейчатых поверхностей с образующей постоянного вида и является частным случаем циклической и каналовой поверхностей. Она обладает свойствами, присущими этим видам поверхностей. У циклической поверхности она позаимствовала форму образующей, а у каналовой - закон движения этой образующей.

Рисунок 4.26 - Трубчатая поверхность

Кинематический метод построения поверхностей, в частности, каналовых поверхностей представлен на рисунке 4.27.

Рисунок 4.27 - Кинематический метод образования поверхности