Цилиндрические поверхности

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и остающейся параллельной

своему исходному положению (рисунок 4.7).

Рисунок 4.7 - Формирование цилиндрической поверхности

Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас цилиндрической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая. Неподвижная кривая m, по которой скользит образующая l, называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и цилиндрическая поверхность будет второго порядка. Геометрическая часть определителя цилиндрической поверхности состоит из направляющей линии m и исходного положения образующей l. Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, пересекающая кривую m и параллельная прямой l. Цилиндрическая поверхность является бесконечной в направлении своих образуюших. Часть замкнутой цилиндрической поверхности, заключенная между двумя плоскими параллельными сечениями, называется цилиндром, а фигуры сечения - его основаниями. Сечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной её образующим, называется нормальным. В зависимости от формы нормального сечения цилиндры бывают (рисунок 4.8):

-круговые - нормальное сечение окружность;

-эллиптические - нормальное сечение эллипс;

-параболические - нормальное сечение парабола;

-гиперболические - нормальное сечение гипербола;

-общего вида - нормальное сечение кривая случайного вида.

Рисунок 4.8 - Разновидности цилиндра

Если за основание цилиндра принимается его нормальное сечение (окружность), цилиндр называют прямым - рисунок 4.8 (а). Если за основание цилиндра принимается одно из косых сечений, цилиндр называют наклонным - рисунок 4.8 (б, г, д). Наклонные сечения прямого кругового цилиндра являются эллипсами (см. рисунок 4.8 а). Наклонные сечения прямого эллиптического цилиндра в общем случае - эллипсы (см. рисунок 4.8 б). Однако его всегда можно пересечь плоскостью, наклонной к его образующим, таким образом, что в сечении получится окружность.

Конические поверхности

Коническая поверхность образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и проходящей во всех своих положениях через неподвижную точку (рисунок 4.9).

Рисунок 4.9 - Формирование конической поверхности

Неподвижная кривая m, по которой скользит образующая l, называется направляющей (см. рисунок 4.5). Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и коническая поверхность будет второго порядка. Неподвижная точка S, делящая поверхность на две бесконечные полы, называется вершиной. Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас конической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая (исключением является только вершина S, которая называется "особой точкой поверхности"). Геометрическая часть определителя конической поверхности состоит из направляющей кривой m и вершины S. Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, проходящая через вершину S и пересекающая кривую m. Часть замкнутой конической поверхности, ограниченная вершиной и какой-либо плоскостью, пересекающей все её образующие, называется конусом. Фигура сечения конической поверхности этой плоскостью называется основанием конуса. Сечение конической поверхности плоскостью, перпендикулярной её оси, называется нормальным. Осью конической поверхности называется линия пересечения её плоскостей симметрии. Следовательно, не все конические поверхности имеют ось, а только те, которые имеют не меньше двух плоскостей симметрии. Конические поверхности, не имеющие оси (а следовательно, и нормального сечения), называются коническими поверхностями общего вида.

Конические поверхности, имеющие ось, в зависимости от вида нормального сечения бывают (рисунок 4.10):

-круговые - нормальное сечение окружность;

-эллиптические - нормальное сечение эллипс и другие.

Если за основание конуса принимается фигура его нормального сечения, конус называют прямым, если иное сечение - наклонным. Прямой круговой конус изображен на рисунке 4.10а, наклонный круговой конус - на рисунке 4.10б. Основанием такого конуса может быть только эллипс, ось его не проходит через центр основания. Прямой эллиптический конус показан на рисунке 4.10в. Эллиптический конус (так же как и эллиптический цилиндр) имеет две системы круговых сечений. Если принять одну из них за основание конуса, получим наклонный эллиптический конус с круговым основанием (рисунок 4.10г). Ось наклонного конуса не проходит через центр основания.

Рисунок 4.10 - Разновидности конуса

Заметим, что у всех развертывающихся линейчатых поверхностей две смежные образующие либо пересекаются (торс, коническая поверхность), либо параллельны (цилиндрическая поверхность).