Впоследнем выражении, потенциальная
икинетическая энергии, а следовательно
иполная энергия Е, могут принимать
непрерывный ряд значений. Если же
энергия частицы может принимать лишь дискретный ряд значений Е1, Е2 ... (как
это имеет место, например, для внутрен- ней энергии атома), то в этом случае
распределение Больцмана имеет вид:
Ni Ae Ei kT ,
где Ni – число частиц, находящихся в состоянии с энергией Еi, а А –
коэффициент пропорциональности, который должен удовлетворять условию:
N |
N |
Ei kT N, |
Νi A e |
||
i 1 |
i 1 |
|
где N – полное число частиц в
рассматриваемой системе.
Тогда, окончательное выражение распределения Масвелла-Больцмана для случая дискретных значений будет иметь вид:
Ni Ne |
Ei |
kT |
||
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
Ei |
kT |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Барометрическая формула
Атмосферное давление на какой- либо высоте h обусловлено весом выше лежащих слоёв газа.
Пусть P – давление на высоте h, а P P – на высоте h h .
Выведем закон изменения давления с высо- той, предполагая, что 1) поле тяготения однородно, 2) температура постоянна и 3) масса всех молекул одинакова.
P ρgh,.
P (P dP) dP gdh
|
P |
– плотность газа на |
RT |
высоте h ( m /V ). |
|
gP |
|
dP |
|
|
|
μg |
|
|
dP RT dh, |
P |
|
|
dh |
|||
RT |
||||||||
|
ln P gh |
ln C, где С = Р0 – давление |
||||||
|
RT |
|
|
|
|
на высоте h 0. |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
μgh |
|
|
|||
|
P P0e |
|
|
- барометрическая |
||||
|
|
RT |
|
|
|
формула |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Причём dh 0 , dР < 0, так как на большей высоте давление меньше. Раз- ность давления P (P dP) равна весу газа, заключённого в объёме цилиндра с площадью основания равного единице и высотой dh, P ρgh, ρ плотность газа
на высоте h, медленно убывает с высотой. P (P dP) ρgdh,
Отсюда |
|
P P e |
gh |
|
- |
|
RT |
|
|||
|
|
0 |
|
|
барометрическая |
|
|
|
|
|
формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где P0 – давление на высоте h 0. |
|||||
Из барометрической формулы следует, что P убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ (чем больше μ) и чем ниже температура (например, на больших высотах концентрация легких газов Не и Н2 гораздо больше чем у поверхности
Земли).
На рисунке изображены две кривые, которые можно трактовать, либо как соответствующие разным μ (при одинаковой Т), либо как отвечающие
разным Т, при одинаковых μ.
Таким образом, чем тяжелее газ (> μ) и чем ниже температура, тем быстрее убывает давление.
Атмосфера
Земли
