Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4563

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

1.15 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Г. Ф. МОРОЗОВА»

МАТЕМАТИКА

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Методические указания для самостоятельной работы студентов

по направлениям подготовки

23.03.01– Технология транспортных процессов

23.03.03– Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов

Воронеж 2016

УДК 517.9

Веневитина, С.С. Математика. Интегральное исчисление и функции двух переменных [Электронный ресурс] : методические указания для самостоятельной работы студентов по направлениям подготовки 23.03.01 – Технология транспортных процессов, 23.03.03 – Эксплуатация транспортнотехнологических машин и комплексов / С.С. Веневитина, И.В. Сапронов, П.Н. Зюкин; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016.

– 34 с.

Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (прот)

Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор Воронежского государственного педагогического университета В.В. Обуховский

Методические указания содержат необходимый теоретический материал и решение практических примеров, которые помогут студентам выполнить самостоятельную работу, индивидуальные задания, а также расчетнографическую работу по разделам: неопределѐнный интеграл, определѐнный интеграл и его приложения, функции двух переменных.

Материалы данной учебно-методической разработки по содержанию, форме изложения и объѐму соответствуют задачам дисциплины и требованиям стандарта соответствующих направлений подготовки.

1. Интегральное исчисление Таблица основных неопределённых интегралов

x dx

x 1

C ( 1);

C .

axdx

C .

ln a

4.exdx ex C .

5.sin xdx cos x C .

6.cos xdx sin x C .

tgx C .

cos2 x

ctgx C .

sin2 x

arctg

C .

10.

x a

C .

x a

11.

arcsin

C .

a2 x2

12.

x2 a2

dx x C .

C .

Основные правила интегрирования

1.C f (x)dx C f (x)dx .

2.f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx .

3.	Если f (x)dx F(x) C , то
			f (kx b)dx				1	F (kx b) C .
			f (kx b)dx					F (kx b) C .
							k

4.		f (x)dx		ln	f (x)	C .
4.		f (x)		ln	f (x)	C .
		f (x)


5.		f (x)dx		2	f (x) C .

			f (x)
			f (x)

6.Интегрирование по частям: udv uv vdu .

7.Формула Ньютона-Лейбница: f (x)dx F (x) ba F (b) F (a)

Самостоятельная работа по теме «Неопределённый интеграл»

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

1 x 2

(x2 x )2

xdx

cos

x 1 tgx

3 x4 dx

ln6 x

x cos(2x)dx

x arctgxdx

x e xdx

x2exdx

ex sin xdx

x2 cos(2x)dx

3x 1

2x 1

x 1

x2 3x 1

3x2 4x 2

2x2 x 1

x 3

2x 1

3sin x 4cos x

(x2 1)(x 1)

(x 1)(x2

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

cos(2x)

5x 4

cos

sin

ctg

7 x

cos x

5 x

sin

sin x

cos x

sin xdx

cos

lg x

x cos

sin(2x)dx

x e3xdx

e x sin xdx

e 2 xdx

x 3

3x 1

2x 3

3x2 x 1

4x2 x 2

3x2 x 1

2x 1

x 1

sin x cos x

x 1 2 x 2

x 2 2 x

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

ctg2 xdx

tg2 xdx

(

x 2)3

2 x

cos ln x

cos xdx

4 e

2 x

sin

xdx

x2 dx

x 2dx

x4 1

1 x3

x6 1

xln x2 1 dx

e 2 x cos x dx

x2 sin 3x dx

sin 3x cos 5x dx

arctgxdx

arccos xdx

2x 1

x 6

2 x

4x2 x 3

2x2 7x 1

2x2 x 1

2 sin x

x 1

x x2

x 2

2 cos x

3 x 5

Вариант 10

Вариант

x5 x

x 2

cos 2x sin

x3 5 x4 1dx

x 3 5 x2 dx

arctg 2 x

ln x

1 x2

x2 ln xdx

xsin 5x dx

e x cos 2xdx

ln 2x dx

2x 1

5x 3

3x2 x 3

3x2 3x 10

7x 15

x3 2x2 3x

4sin x 5cos x

Решение варианта .

1. Вычислить интеграл

x5 x

x 2

dx .

Преобразуем подынтегральную функцию:

x5 x

x 2

x x 2

x4dx

Тогда

dx = x4 x2

dx =

1dx

x2 dx 2 x =

		3
	x5
		x2
		x2
=					2ln	x	C .
=	5	3			2ln	x	C .

		2
		2
	При вычислении использовали свойства неопределѐнного интеграла:
	а)		f1(x) f2 (x) dx f1(x)dx f2 (x)dx ,
	б)			Cf (x)dx C f (x)dx ,

и табличные интегралы 1) и 2).

																					7

2.			Вычислить интеграл												x 3 5 x2 dx .
Делаем замену									5 x2 t ,						тогда						2xdx dt и										xdx		1		dt . Следовательно,
Делаем замену									5 x2 t ,						тогда						2xdx dt и										xdx		2		dt . Следовательно,
																																	2
							5 x2 t												1						4

																																3 5 x2 4
	x 3 5 x2 dx =														1							1			3	t					3
											1		=		1			t 3 dt				1			3		3	C =			3						C .
											1		=		2			t 3 dt				2			4		3	C =			8						C .
								xdx 2 dt							2							2			4						8
3.			Вычислить интеграл														arctg 2 x						dx .
3.			Вычислить интеграл															1 x2					dx .
Делаем замену									arctgx t ,						тогда									dx				dt .

																						1 x2
Следовательно,
				arctg 2 x		= t2dt						t3							arctg3 x
					dx									C											C .
				1 x2	dx							3		C							3				C .
4.			Вычислить интеграл												xsin 5x dx .
Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
																udv uv vdu .
x sin(5x)dx									u x			dv sin(5x)dx																1					1			cos(5x)dx
									u x			dv sin(5x)dx

									du dx			v						1												x cos(5x)
																		1		cos(5x)									5					5
																		5		cos(5x)									5					5
																		5
=		1	x cos(5x)						1	sin(5x) C .
=		5	x cos(5x)			25				sin(5x) C .
		5				25

5.Вычислить интеграл ln 2x dx .

ln 2x dx =	u ln(2x)			dv dx			xln(2x) x		1	dx xln(2x) x C .
	u ln(2x)			dv dx
	1
	1
	du		dx	v x					x
	du	x	dx	v x					x
						5x 3
6. Вычислить интеграл								dx .
6. Вычислить интеграл					3x2		3x 10	dx .

																													8
																																									5		2x 1				11
									5x 3											1						5x 3										1							2x 1
									5x 3											1						5x 3										1				2						2
																dx =																	dx							2						2		dx =
				3x2 3x 10												dx =				3			x2 x									10				3							x2 x			10		dx =
																							x2 x																				x2 x
																													3																	3
					1		5					2x 1												1 11											dx
																			dx
					3		2				x2 x							10						3			2								1 2				37
											x2 x																								1 2				37
													3																		x
																															x							12
																																			2			12
																																		x		1
						5		ln		x2 x							10				11			1					arctg					x		2		C =
						5											10				11			1												2


					6								3							6				37										37

																								12										12
																									1)
5	ln	x2	x				10					11		3	arctg					3(2		x			1)			C.
6								3

										3			37							37

																																		(x)
			Воспользовались правилом																													(x) dx					ln							(x)	C и табличным
			интегралом 9).																													(x) dx
			интегралом 9).
			7.					Вычислить интеграл																								7x 15										dx .

																														x3 2x2						3x

а) Знаменатель подынтегральной функции разложим на множители: x3 2x2 3x x x2 2x 3 x x 3 x 1 .

б) подынтегральную функцию представим в виде суммы простейших дробей:

7x 15

x3 2x2

x 1

Тогда

7x 15

x 3

x 1 Bx

x 1 Cx

x 3

x3 2x2 3x

x x 3 x 1

Следовательно,

7x 15 A x 3 x 1 Bx x 1 Cx x 3 .

Определим постоянные А, В и С.

Если	x 0 ,	то	15 3A и	A 5 ;
если	x 3 ,	то	36 12B	и B 3;

если x 1,

то

8 4C

и C 2 .

Тогда

7x 15

dx =

x3 2x2 3x

5ln

3ln

x 3

2ln

x 1

C .

x 3

x 1

Индивидуальные задания по теме «Неопределённый интеграл»

Вариант 1

2x dx

11.

21.

cos x

sin2 x

1 x2

x2 2x 3

sin 2x cos4 x dx

12.

(x 5) e x dx

22.

sin3 x cos3 x dx

ln 2x dx

13.

23.

4sin x

4x x

arctgx 3

14.

24.

x2 3x 2

x 3

1 x2

x (x2 2x 1)

15.

x dx

25.

x3 1

cos2 x tg 4 x

2x2 6x 3

x3 x2

sin(e

) dx

sin

x sin

sin

16.

x dx

26.

x dx

17.

x dx

27.

x dx

x4 1

x3 1

1 2x x2

2x (arccos x)2

x2 x 2

28.

18.

x 1 x 3 x 4

1 x2

x2 1

19.

x3 1

29.

tg3 x dx

x2 1

4x3 x

10.

x sin 2x dx

20.

sin2 x cos x dx

30.

4 sin3x 2 dx

Вариант 2

sin x dx

11.

ln x

21.

(x 1)2 (x2

1 3cos2 x

x3 2x2 4

3x 4

12.

22.

3x2 5x 6

x3 (x 2)2

x3 1

13.

sin x

23.

cos11 x

sin4 x

4x3 x

x5 x4 8

14.

x dx

24.

1 cos x

2x2 4x 1

1 cos x

15.

7x 3

25.

2 ln x

4x2 2x 5

1 x

16.

26.

sin3 x

(1 x2 ) arctg4 x

2 4x x2

cos4 x

e 2 x2 1 x dx

17.

sin

x cos

x dx

27.

tg5 x dx

28.

sin ln x dx

18.

2sin x 5cos x

ex sin 2x dx

19.

x 3x dx

29.

ecos x sin x dx

arctg(

sin2 x cos4 x dx

10.

) dx

20.

30.

e x

Вариант 3

cos3 x sin 2x dx

11.

arccos x dx

21.

sin4 x cos x dx

12.

sin2 x

22.

x ln x

cos4 x

1 sin2 x

13.

x2 dx

23.

sin2

x ctgx

sin3 x

x6 4

8x4

24.

1 sin x

14.

1 sin x

arcsin3 x

1 x2

1 x

x4 dx

15.

3x 2

25.

3sin 2x

x2 x 2

4x2 4x 16

32x dx

16.

2x 3

26.

cos x

(2x 1)(4x2

16x 5)

esin x

x2 3x 4

x 2 2

17.

27.

2sin x 3cos x

3 4cos x

18.

28.

x4 x2

cos4 x

x 1

19.

cos

x cos

x dx

29.

1 x3

x 1

10.

x arctgx dx

20.

(3 x) e x dx

30.

ctg6 x dx

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.20211.15 Mб14559.pdf
#
08.01.2021199.92 Кб2456.pdf
#
08.01.20211.15 Mб14560.pdf
#
08.01.20211.15 Mб14561.pdf
#
08.01.20211.15 Mб24562.pdf
#
08.01.20211.15 Mб24563.pdf
#
08.01.20211.16 Mб24564.pdf
#
08.01.20211.16 Mб234565.pdf
#
08.01.20211.16 Mб64566.pdf
#
08.01.20211.16 Mб04568.pdf
#
08.01.20211.16 Mб54569.pdf