Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4563

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

1.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Задача № 5.

Вариант 1.

y 2

x2 ,

y 0.

y tgx,

y 0,

x 2,

x 8.

y cos x,

y 0,

x2 1,

y 0,

x 0,

x 3.

y ctgx,

y 0,

x .

y 4x x2 ,

y 0,

x 0,

x 3.

Найдите длину дуги линии.

y 15 ln sin x ,

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

x2 y2 9.

					15			.
y arcsin x 1 x2 ,			0 x		15
y arcsin x 1 x2 ,			0 x	16
				16
y 1 ln cos x ,		0 x .
			6
						8	.
y 1 x2 arccos x,			0 x			8
y 1 x2 arccos x,			0 x	9
				9
y2 x3,	0 x 4 .

				1
y ln 1	x2	, 0	x	2	.
				2

Вариант 8.

Ox .

Вариант 9.

Вариант 10.

Задача № 6.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

						22
y	2			2
		x 4			4	x3 ,
			x		4		между точками пересечения с осью
			x				между точками пересечения с осью
5			3
y2 x 1 3 ,						1 x 2 .
y 3 ln cos x ,							x	.
							6	3

Исследовать на сходимость несобственный интеграл.

1 dx

x2 .

1 x2 .

1 dx

0 x .

xe x2 dx .

arctgx dx .

0 1 x2

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

0 dx

4 x2 .

2	dx
	dx
			.
	x2	4	.
0

x2 e x3 dx .

e	ln x dx
	ln x dx		.
			.
0	x
0
e	dx
	dx
		.
	x ln x	.
1

Задача № 7. Вычислить приближѐнно определѐнный интеграл с помощью формулы прямоугольников, формулы трапеций и формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на n частей. Все вычисления производить с точностью до 0,001.

	8				1
Вариант 1.	4 1		x3 dx, n 8.	Вариант 6.		4 x3	dx, n 10.
	0				0
	9				4
Вариант 2.		16 x2 dx, n 10 .		Вариант 7.	4	64 x3 dx, n 8.
	1				4
	2				1
Вариант 3.		4 8	x3 dx, n 8.	Вариант 8.		9 x3	dx, n 10 .

10				5
Вариант 4.	18 x2	dx, n 10.	Вариант 9.		4 27 x3 dx, n 8.
0				3
	0				3
Вариант 5.	4 1 x3	dx, n 8 .	Вариант 10.		4 27 x2 dx,	n 8 .
	8				5

Образец решения некоторых задач.

Задача № 1. Вычислить указанные определѐнные интегралы.

2dx

1.1 7 3x 3 .

Пользуясь правилом f kx b dx																		1	F	kx b C ,
Пользуясь правилом f kx b dx																			F	kx b C ,
																		k
табличным интегралом 1) и формулой Ньютона-Лейбница, получаем:
2		dx					2						1	7 3x								2		2				1			2
2							2															2		2							2
						= 7 3x 3 dx
	7 3x				3	= 7 3x 3 dx																					7		3x	2
1	7 3x						1						3					2						1	6		7		3x		1
	1							1					1				1				1			1	1			5			1
	1							1					1				1				1				1			5
																						1							.
		6 7 3 2					2	6 7 3 1				2				6 4			2			1							.
		6 7 3 2						6 7 3 1					6			6 4					6				16			32
4
2.	x cos 2x dx .							Интегрируя по частям, получаем:
	0
					b					b
					b					b
				udv uv					ba vdu


					a					a
					a					a
4 x cos 2x dx =				u x				dv cos 2xdx						=	x			sin 2x						4		1	4 sin 2xdx
4 x cos 2x dx =				u x				dv cos 2xdx						=				sin 2x						4			4 sin 2xdx
0										1				2									0			2		0
0			du dx					v			sin 2x												0					0


								2


	4										1
=	4	sin			2				0			cos 2x
=		sin			2				0			cos 2x
	2					4					4
			1	0			1	1		2 .
				0				1		2 .
	8		4			4					8


4		sin		1	cos		1	cos 0
	8		2	4		2	4
0

	e			3 x dx
3.			ln	3 x dx						.	Пользуясь формулой замены переменной в определѐнном
3.										.	Пользуясь формулой замены переменной в определѐнном
	1			x
	1
интеграле и учитывая, что ln1 0															и ln e 1,получаем:
	e											ln x t		1		t4	1


		ln3		x dx					=			dx		= t3dt					1		0	1	.
									=			dx	dt	= t3dt									.
	1			x										0	4		0	4		4		4
				x								x						4		4		4


	12						x
			e4					dx =
4.			e4				3	dx =
	9
3 e4					x	12			3 e4 4 e4 3 3 e0 e1											3 1 e 3 e 1 .
					x	12

					3
						9
						9
	При вычислении интеграла воспользовались 3-им правилом
интегрирования и табличным интегралом 4).

Задача № 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y x2 3x 5;

y x 2.

Найдѐм абсциссы точек пересечения графиков, заданных функций. Для этого объединим уравнения в систему

y x2 3x 5,y x 2.

Решая полученную систему уравнений, получаем:

x1 3;

x2 1.

Рис.1.

После построения графиков заданных функций получим фигуру (рис.1),

ограниченную прямой y x 2 и параболой y x2 3x 5.

Площадь фигуры, изображѐнной на рис.2, вычисляется по формуле:

S f2 (x) f1(x) dx .

															Рис.2.
		В нашем случае				f	2	(x) x 2,								f (x) x2 3x 5, следовательно,
							2								1
	1									1												3				1
																										1

S x 2 x2 3x 5 dx x2 2x 3 dx																					x		x2	3x
S x 2 x2 3x 5 dx x2 2x 3 dx																							x2	3x
	3										3									3						3
	3				( 3)3						3															3
		1			( 3)3							2						1							2
			1 3						( 3)				3 ( 3)						2	9 9				9 10			.
			1 3						( 3)				3 ( 3)						2	9 9				9 10			.
		3				3												3							3
		Задача № 4. Вычислить объѐм тела, полученного при вращении вокруг
оси Ox фигуры, ограниченной линиями:
												2			2
											x			y		1,	x 6.
											2			2		1,	x 6.
										3					2
			Первое	уравнение						задаѐт					гиперболу,			а уравнение						x 6			задаѐт

вертикальную прямую. После их построения, получаем фигуру, ограниченную гиперболой и вертикальной прямой.

Рис.3.

Пользуясь формулой для вычисления объѐма тела вращения

VOx f 2 (x) dx ,

находим объѐм тела (рис.3), образованного вращением нашей фигуры вокруг оси Ox :

	6	4		2						4	x3		6	4	63
	6	4		2						4	x3		6	4	63
VOx	3		x		4		dx					4x				4 6
VOx			x		4		dx					4x				4 6
		9								9	3		3	9	3
								3
						4		3	4 3 8 8 16 (куб. ед.)
						9		3	4 3 8 8 16 (куб. ед.)
						9		3

6
	4 9 x2 dx,					n 8.
	2
	Разобьѐм отрезок интегрирования [-2;6]											на 8	равных частей с шагом
h	6 ( 2)		1	точками x 2, x					1,	x		0,	x 1,		x	2,	x 3,
h			1	точками x 2, x					1,	x		0,	x 1,		x	2,	x 3,
8						0		1		2			3	4			5
8
x6 4,		x7 5,			x8 6 .

		Вычислим				значения		функции		y 4 9 x2				в		этих	точках:

yi y(xi ), i 0;8.						Запишем результаты вычислений в таблицу:

i		0		1			2	3	4			5	6			7	8

xi		-2		-1			0	1	2			3	4			5	6
yi		1,899		1,778			1,732	1,778	1,899		2,060		2,236		2,415		2,590

Запишем формулы приближѐнного вычисления интеграла для случая разбиения отрезка интегрирования на 8 частей.

Формулы прямоугольников:

				b			y0					... y7 ,
				y(x) dx h			y0	y1		y2		... y7 ,
				a
				b			y1					... y8 .
				y(x) dx h			y1	y2 y3				... y8 .
				a
Формула трапеций:
		b				y	y
						y	y
		y(x) dx h					0	8	y1 y2 ... y7				.
		y(x) dx h					2		y1 y2 ... y7				.
		a					2
		a
Формула Симпсона:
b		h	y y			2	y y y					4 y y y y .
	y(x) dx	h
	y(x) dx
	3			0	8		2		4		6	1	3	5	7
				0	8		2		4		6	1	3	5	7

Проведя вычисления по этим формулам, получим, что приближѐнное значение интеграла по формулам прямоугольников равно 15,797 или 18,387; по формуле трапеций равно 16,142, а по формуле Симпсона равно 16, 116.

Вопросы для самоконтроля и проверки

1.Что такое интегральная сумма и в чем заключается ее геометрический

смысл?

2.Сформулируйте определение определенного интеграла.

3.Какие функции являются интегрируемыми?

4.Чему равен определенный интеграл с одинаковыми верхним и нижним пределами интегрирования?

5.Как изменится значение определенного интеграла, если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования?

6.Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

7.Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

8.Как с помощью определенного интеграла вычислить площадь криволинейной трапеции?

9.Как найти объем тела вращения?

Самостоятельная работа по теме «Функция двух переменных»

Задача №		1. Изобразить		область определения D(z) функции двух
переменных	z f (x; y) .
					x
	z		x y .
Вариант 1.				Вариант 6. z ln		.

					y

z ln(xy) .

Вариант 2.

Вариант 7.

4 x2 y2 9 .

9 x2 y2 .

Вариант 3.

Вариант 8.

z x sin y .

x2 y2 25 .

Вариант 4.

x 3y2 .

Вариант 9.

		1
Вариант 5.	z	1		.		Вариант 10. z 4 x	y2 1 .


		x y
		x y

Вариант .	z		4 y2		x .

Задача № 2. Найти частные производные функции двух переменных 2-

го порядка.

Вариант 1.

а)

z 5x3 y2

7xy

x5 ;

б)

z ln x2

y3 .

Вариант 2.

а)

z 3x4 y2

2xy

x3 ;

б)

z arc sin 3x2 y4 .

Вариант 3.

а)

z 5x2 y y3

xy4 ;

б)

z arctg

Вариант 4.

а)

z 4xy3

x y5

2 y x4 ;

б)

z sin 2x 3y .

z 4x3 3x2 y y3 7 ;

Вариант 5.

а)

б)

z cos

e y

Вариант 6.

а)

z 3xy5 2 y4 x5 78;

б)

z e3x2 y3 .

Вариант 7.

а)

z 3x3 y2

2xy

x4 ;

б)

z ln x3

y2 .

Вариант 8.

а)

z 2x2 y4

5xy

x3 ;

б)

z arccos 4x3 y4 .

z sin3 3x 2 y .

Вариант 9.

а)

z 3x3 y x5

y y6 x ;

б)

z 4x2 2xy2 y3 8;

z arcsin e2 x

Вариант 10. а)

б)

Вариант .

а)

z x9 y2 2 y 4x 5;

б)

z x2 ln y .

Задача № 3. Исследовать на экстремум функцию z f (x; y) .

Вариант 1.

z y2 4x 4 4xy 5x2 2 y .

Вариант 2.

z 6x 2xy 1 x2 y2 10 y .

Вариант 3.

z 5xy 5 3x2 y 3y2 x .

Вариант 4.

z x y2 2 xy x2 y .

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.20211.15 Mб14559.pdf
#
08.01.2021199.92 Кб2456.pdf
#
08.01.20211.15 Mб14560.pdf
#
08.01.20211.15 Mб14561.pdf
#
08.01.20211.15 Mб24562.pdf
#
08.01.20211.15 Mб24563.pdf
#
08.01.20211.16 Mб24564.pdf
#
08.01.20211.16 Mб234565.pdf
#
08.01.20211.16 Mб64566.pdf
#
08.01.20211.16 Mб04568.pdf
#
08.01.20211.16 Mб54569.pdf