Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4613 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Воронежская государственная лесотехническая академия
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

4563

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
08.01.2021
Размер:
1.15 Mб
Скачать
☆

 

31

Вариант 5.

z 3xy 4 y x2 y2 x 1.

Вариант 6.

z 9 y 3xy 6x 3y2 x2 4 .

Вариант 7.

z 4x 3y2 5 7 y 3x2 5xy .

Вариант 8.

z 6x 2xy 5 x2 y2 10 y .

Вариант 9.

z 10 y 8 x2 xy x 2 y2 .

Вариант 10.

z 4x 1 x2 3xy 4 y2 6 y .

Вариант .

z 4x2 4xy 2 y2 8x 2 y 1.

Решение варианта .

Задача № 1. Изобразить область определения D(z) функции двух

переменных z 4 y2 x .

Функция z

4 y2

x

определена во всех точках, координаты x и

y которых

удовлетворяют

неравенству

4 y2

x 0 или

x 4 y2 .

Уравнение

x 4 y2

задаѐт

параболу,

а

неравенству

x 4 y2

удовлетворяют координаты точек плоскости, расположенных левее этой параболы:

Рис.4.

32

Область определения

рис.4.

D(z) функции z 4 y2 x изображена на

Задача № 2. Найти частные производные функции двух переменных 2- го порядка.

а)

При нахождении частной производной

z

переменная

y

x

 

 

 

 

 

 

рассматривается как постоянная:

 

 

 

 

 

 

z

9x8 y2 4 .

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

При

нахождении частной производной

z

 

переменная

x

y

 

 

 

 

 

 

 

рассматривается как постоянная:

z 2x9 y 2 .y

Найдѐм частные производные второго порядка:

2 z

 

 

 

z

 

 

 

 

9x

8

y

2

4

72x

7

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

9x

8

y

2

4

18x

8

y ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x

 

y

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

2x9 y 2 2x9

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

 

y

y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z

 

 

 

z

 

 

2x9 y 2

18x8 y .

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

x

y

 

x

 

 

б) найдѐм частные производные первого порядка:

z

2x ln y ,

z

 

x2

x

y

 

.

 

 

 

y

Найдѐм частные производные второго порядка:

2 z

 

 

z

 

 

2x ln y 2 ln y ,

 

 

 

 

 

 

x

2

 

x

 

 

x

x

 

 

33

 

2 z

 

 

 

 

z

 

 

 

 

2x ln y

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x

 

 

 

y

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

2

z

 

 

 

z

 

 

 

x

2

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

x

 

 

 

 

x

y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

y

2

 

 

y

y

 

y

y

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 3. Исследовать на экстремум функцию

 

 

 

 

 

z 4x2 4xy 2 y2 8x 2 y 1.

 

 

Вычислим частные производные первого порядка

 

 

 

 

 

z 8x 4 y 8,

 

 

z

4x 4 y 2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и приравняем их к нулю:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x 4 y 8 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 y 2 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решая

систему

уравнений,

находим

стационарную

 

точку

x

3

, y 1. Чтобы

 

 

 

 

 

3

 

 

 

определить,

действительно

ли точка

 

 

 

; 1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

является точкой экстремума, найдѐм частные производные второго порядка:

2 z 8x 4 y 8 8,x2 x

2 z 4x 4 y 2 4 ,y2 y

 

2 z

 

 

 

 

4x 4 y 2 4 .

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z

 

2 z

 

2 z 2

 

 

3

 

Так как величина

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

в точке

 

 

 

; 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

x y

 

 

 

2

 

положительна: 8 4 ( 4)2

16, то эта точка является точкой экстремума.

34

Так как

2 z

8

положительна в точке

 

3

; 1

, то точка

x2

 

 

 

 

 

2

 

 

точка минимума.

Найдѐм значение функции в этой точке:

 

 

3

 

 

 

 

 

; 1

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3 2

 

 

3

1 2 1

2

 

 

 

3

 

zmin

z

 

 

; 1

4

 

 

 

4

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

2 1 1 4

Библиографический список

Основная литература

1. Шипачев, В.С. Высшая математика. Полный курс [Электронный ресурс] : учеб. акад. для бакалавров : рек. УМО высш. образования в качестве учеб. для студентов высш. учеб. заведений, обучающихся по всем направлениям и специальностям / В.С. Шипачев ; под ред. А.Н. Тихонова; Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. – 4-е изд., испр. и доп. – М. : Юрайт, 2014. – 607 с. – ЭБС «Юрайт»

Дополнительная литература

1.Сборник задач по высшей математике [Текст]: учеб. пособие для бакалавров : рек. М-вом образования и наук РФ в качестве учеб. пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям и специальностям в обл. техники и технологии : в 2 ч. Ч. 1 / В.Н. Земсков, В.В. Лесин, А.С. Поспелов, А.А. Прокофьев, Т.В. Соколова; под ред. А.С. Поспелова. – М. : Юрайт, 2014. – 605 с. – Электронная версия в ЭБС «Юрайт»

2.Сборник задач по высшей математике[Текст]: учеб. пособие для бакалавров : рек. М-вом образования и наук РФ в качестве учеб. пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям и специальностям в обл. техники и технологии : в 2 ч. Ч. 2 / В.Н. Земсков, В.В. Лесин, А.С. Поспелов, А.А. Прокофьев, Т.В. Соколова; под ред. А.С. Поспелова. – М. : Юрайт, 2014. – 611 с. – Электронная версия в ЭБС «Юрайт»

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности