§ 43. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Наибольшее M и наименьшее m значения функции y f (x) на

отрезке находятся по плану:

С

1. Найти критические точки первого типа.

2.

Выбрать те критические точки первого типа, что принадлежат

данному отрезку.

3.

Выч сл ть значения функции на концах отрезка и в выбран-

Найти

ных кр т ческ х точках.

4. Из всех найденных значений выбрать самое большое – это M

и самое малое – это m.

Пр мер

на

ольшее

и

наименьшее

значения функции

y x

3

3x

2

1 на

1;4

(рис. 105).

Д

Рис. 105

И

1.

Вычисляем производную y 3x2

6x, затем решаем уравне-

ние 3x

2 6x 0;

x

0; x

2

2 – нашли критические точки пер-

1

вого рода.

2.

x1 ; x2 1;4 . Обе критические точки принадлежат данному

отрезку.

3.

Находим значения функции на концах отрезка и в критиче-

ских точках:y( 1) 3;

4.

yнаибольшее(4) 17;

yнаименьшее( 1)

y(2)

3.

1.

2.

С

вида.

3.

4.

тальные, наклонные).

Найти

5.

возрастан я, убыван я, точки экстремума функции.

6.

выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции.

7.

На основан

проведённого исследования выбрать масштаб,

постро ть граф к функции.

Функция

фик четной функции симметричен относительно оси Oy.

Пример

1

Функции y x2 ;

y cos x; y

–

четные.

Д

x

2

ФункциябАy f (x) называется нечетной, если y ( x) y x .

График нечетной функции симметричен относительно начала коор-

динат.

Пример

1

Функции

y x

3

;

– нечетные.

y sin x; y

x

Прямая x a

y f (x), если

lim

f (x) или

lim

f (x) .

x a 0

x a 0

x3 4

4

b lim(f (x) kx) lim

x

lim

0.

2

3

x

x

x x

x

Наклонная асимптота у = х.

С

5. Находим

мума с помощью первой производной. Исследование оформляем в

виде табл. 3.

8

при

Таблица 3

y

1 x3

; y = 0

х = 2; у = при х = 0.

Точка х = 0 не может ыть критической точкой функции, так как

бА

в этой точке функц я не определена. Точка x

2

– критическая точ-

ка 1-го рода.

х

0

2

y

+

–

0

y

3

Итак, точка (2, 3) является точкой минимума. Экстремум функ-

ции ymin 3.

Д

6. Находим

интервалы

выпуклости и точки перегиба графика

функции с помощью второй производной.

И

24

y

x4 > 0 при любом х 0, следовательно,

функция

вогнутая

b lim

( f (x) k x) lim(3

6x2 x3

x) 2,

x

x

значит,

y x 2 – наклонная асимптота.

Горизонтальных асимптот нет, так как есть наклонная.

5. Первая производная имеет вид

y

.

2

и

(x2 (6 x))

3

Реш м уравнен е

0

и найдём критические точки

2

С

(x2 (6 x))

3

первого рода:

бА

x1 0:

y не существует в этой точке, но меняет знак при

переходе через неё с м нуса на плюс, значит,

( )

= 0– точка мини-

y 0

мума (особый экстремум);

x2 4:

y 0 в этой точке и меняет знак при переходе че-

рез неё с плюса на минус, значит, y(4) 3,2

– точка максимума;

x3 6:

y не существует в этой точке, не меняет знак при

переходе через точку, значит, экстремума в этой точке нет.

Д

6.

Вторая производная равна y

8

.

4

5

x

3

(6 x)

3

Решим уравнение

8

0

и найдём критические точки

4

5

x

3

(6 x)

3

второго рода:

y не существует в этой точке,

x3 6:

меняет знак с ми-

нуса на плюс при переходе через точку, значит, y

( )

6 = 0 – точка пе-

региба;

x1 0: исследована выше.

И