§ 35. Производные некоторых элементарных функций

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2277.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

4.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3124 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t – время; S – путь, проходимый точкой за время t.

M0 M

	S0	S		S	S


		Рис. 95
Пусть в момент времени t0 точка находилась в положении M0
С
( . 95). Постав м задачу: определить скорость материальной точки
в момент t0. Рассмотр м другой			момент времени			t0 + t. За время t0
пройденный точкой путь равен			S0 = f (t0), за (t0 +			t) пройдено рас-
стояние S = f(t0 + t)	точка оказалась в положении M, тогда за время
t пройден путь M0M	он равен
рис
S – S0 = f (t0 + t) – f(t0) = S.
Средняя скорость Vср за пpомежуток времени t равна							S	. Но
Средняя скорость Vср за пpомежуток времени t равна								. Но
							t

средняя скоростьбАможет быть различной, в зависимости от промежутка времени t. Скоростью V(t0) в момент времени t0 называется предел средней скорости Vср при t 0. Итак,

			V(t		) lim		S			).
			V(t	0	) lim		S (t		0	).
				0		t 0	t		0
						Д
Производная от S = f(t) в момент времени t0 есть скорость в
момент времени t0.										И
Посмотрите видео 6.

§ 35. Производные некоторых элементарных функций
Пусть функция y = f (x) определена на некотором промежутке X
и f(x)	дифференцируема					в	точке	x0 X, т.е. производная
f (x0)	lim	y	существует.
f (x0)	lim		существует.
	x 0 x

166

Производная функция от функции f (x), по определению, имеет

вид

f (x x) f (x)

(x) lim

x 0

Вычислим производные некоторых элементарных функций.

1. f(x) = с – постоянное число. Тогда (c)' = 0. Действительно,

f (x x) f (x)

lim

c c

lim 0 0.

Сf (x) lim

x 0

x 0 x

x 0

(x)' = 1. Действительно,

(x x) x

lim

1 1.

(x) lim

x 0

x 0 x

x 0

(

. Действительно,

x x x

x x

(

lim

бА

x 0

lim

x 0

x x x 2 x

. Действительно,

f (x x) f (x)

x x

lim

x 0

lim

x (x x)

lim

x 0 x(x x) x

x 0 x(x x)

167

5.(sin x)' = cos x. Действительно,

sin(x x) sinx

2sin

cos(x

)

(sin x) lim

lim

С2

x 0

sin

lim

lim cos(x

) 1 cos x cosx.

x 0

Аналог чно доказывается, что (cos x)' = –sin x.

бА

и7. a a ln a. Действительно,

ax x ax

a x(a x 1)

a x 1

) lim

lim

x 0

ax lna.

Здесь при вычислении предела использована эквивалентность

a 1~ lna (при 0).

При a = e получаем формулу e

§ 36. Основные правила дифференцирования

Установим правила дифференцирования.

Теорема 1. Если функции u(x), v(x) дифференцируемы в точке x, то их сумма дифференцируема в этой точке, причем

(u(x) + v(x))' = u'(x)+v'(x).

Теорема 2. Если функции u(x), v(x) дифференцируемы в точке x, то их произведение дифференцируемо в этой точке, причем

168

(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак

производной, т. е.

(C f(x))' = C f (x).

Доказательство. Используем теорему 2:

(C f(x))' = C f x C f (x) =

0 f x C f (x) = C f (x).

Теорема 3.

функции u(x), v(x) дифференцируемы в точке x

и v(x) 0, то

х частное дифференцируемо в этой точке, причем

u(x)

(x) v

(x) u(x) v (x)

Если

(x)

v(x)

С помощью теоремы 3 можно вычислить производные функций

tg x и ctg x.

Пример

Покажем, что (tg x)

cos

бА

Итак, получили формулу

(tg x)

. Аналогично находит-

cos2 x

ся производная (ctg x)

.Действительно

sin2 x

Пусть y = f (u(x)является сложной функцией, составленной из

функций y = f (u);

u = (x),

где u – промежуточный аргумент.

Теорема 4. Если функция u

(x)имеет производную

Иx

точке x, а функция y = f (u) имеет производную yu

в точке u

= (x),

то сложная функция y = f (u(x))

в точке x имеет производную

yx ,

причем

sinx

(sinx) cosx sinx(cosx)

cos2

x sin2 x

(tgx)

cos

cosx

169

yx = yu ux .

Иначе: производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на про-

изводную промежуточного аргумента.
	помощью теоремы 4 найдем производную степенной функции
y x , где – постоянное число.
	По свойствам логарифмов			x	eln x		e ln x , поэтому
	ln x
Сx e является сложной функцией от x: y = e u ; u = ln x. По
теореме 4
	бА
	y (x ) yu ux eu	e ln x			x	1	x 1.
иx				x		x
	Итак, получена формула	x	x 1.

Теорема 5 (правило дифференцирования обратной функции). Пусть функция y = f (x) определена на промежутке X, непрерывна, монотонна (возрастает или убывает) и дифференцируема на X. Если

ее производная yx		в точке x не равна нулю, то обратная функция
x f 1( y) имеет производную xy								в точке y , причем
							xy	1
							xy	yx .
							Д
На основании теоремы 5 можно получить следующие формулы:
1.	(arcsinx)		1			.			И
1.	(arcsinx)					.
		1 x2
2.	(arccosx)				1		.
2.	(arccosx)						.
				1 x2

170

(arctgx)

1 x2 .

(arcctgx)

1 x2 .

Введем понятия гиперболических функций, имеющих примене-

ние в математ ке

ее приложениях:

косинус

e x

г пербол ческ й с нус

shx

e x

;

г пербол ческ й

chx

e x

;

бАsh x ch x 2 2

г пербол ческ й тангенс

thx

e x

;

г пербол ческ й котангенс

cth x

ex e x

Для гиперболических функций верны тождества

th x

;

cth x

;

ch x – sh x =1.

ch x

sh x

Найдем производные гиперболических функций, при этом на-

помним, что (e

–x

= e

–x

(–1) = –Дe (как производная сложной функ-

ции):

(shx)

((e

)

chx.

) )

Итак, (sh x)' = ch x.

Также доказывается, что ch x)' = sh x.

Так как ch2 x – sh2 x =1, то получаем

171

(thx)

ch2 x.

Аналогично можно показать, что

(cthx)

sh2x.

овокупность полученных формул назовем таблицей производ-

ных (пр л. 29):

1. c 0.

9. arcsinx

бА

2. xm

1 x

mxm 1

;

иx .

10. arccosx

1 x2

3. ax ax lna;

11. arctgx

1 x2

ex.

4. loga x

;

12.

arcctgx

2 .

xlna

1 x

lnx

И2

13. (shx)'

= chx.

5. sinx

cosx.

sinx.

14. (chx)' = shx.

6. cosx

15.

(thx)

ch x

7. tgx

cos2 x

16.

(cthx)

sh2x.

8. ctgx

sin2 x

172

Основные свойства:

u v

;

u v

;

yx = yu ux .

Найти2

Пр меры:

про зводные функций в примерах 1 – 4:

бА

1. y

Решен е.

Используем правило вынесения постоянного множителя за

знак производной и правило дифференцирования разности:

ex 2x ln2

e 2

e 2 ln 2

2. y ln

cosx

Решение. Используем правило дифференцирования сложной функции

f g x

(g) g

(x)

cosx

(cosx)

(

cosx

sin x

tg x.

2cosx

173

Заметим, что этот результат можно было получить, представив

функцию в виде y ln		=	1	lncosx.
	cos x
			2
3. y e x ln x.

произведе-

Решение.

Воспользуемся правилом дифференцирования

ния двух функций и производной сложной функции. Получим

lnx)

-x

(lnx)

lnx

e x

) lnx e

4. y arccos

б0 А

Решение. Используем формулу производной сложной функции. По-

лучим

y (arctg

)

(

x4 1

(

)

x4 1

5. Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y sin2x в точке x

Решение.

Используем

уравнение

касательной

2π

;

y f (x0) f (x0)(x x0).

нашем

случае

f (x0) sin

f (x0) 2cos

2π

1. Подставляем в уравнение

), от-

куда получим

y x

– уравнение касательной.

Запишем теперь уравнение нормали

y f (x

)

(x x ).

f (x0)

174

отсюда y' = –x y.

Подставим в это уравнение числовые данные y

, от-

куда y x

– уравнение нормали.

функций,

заданных

неявно

§ 37. Дифференцирование

и параметр чески.

Логарифмическое

дифференцирование

уравнение

Пусть переменные x, y связаны между собой некоторым уравне-

нием F(x, y) = 0, пр чем y является функцией от x, тогда говорят, что

функц я y задана неявно.

y3 – 5x2

– 3x = 0 задает неявно функцию y,

Напр мер,

бА

3 3x 5x2 .

которую можно

з этого уравнения выразить явно: y =

Неявное уравнен

x2 + y2 = a2 неявно задает две явные функции:

и y = – a2 x2 .

y =

a2 x2

Однако не всегда функции, заданные неявно, могут быть выра-

жены явно. Так, из неявного уравнения y + x = 2siny нельзя выразить y

явно.

Для нахождения производной y' неявно заданной функции надо

найти производные по x от обеих частей этого уравнения, помня, что

y – функция от x, и приравнять эти производные.

з полученного

уравнения выразить y'.

x2 + y2

= a2:

Например, найдем y' для функции

+ y

)

= (a

)Д; 2x + 2y y' = 0,

Применим этот метод для нахождения производной для показа- тельно-степенной функции y = u(x)v(x), где u(x) > 0; u(x), v(x) – дифференцируемые функции.

Прологарифмируем равенство y = uv, получим ln y = v ln u. Дифференцируем полученное равенство:

1 y' = v' ln u + v 1 u', y u

175

откуда получаем

y' = y(v' ln u + v 1 u').

С	u

Подставим сюда y = u v, найдем производную
	y' = u v ln u v'+ v u v–1 u'.

Найти

Этот пр ем нахождения производной называется логарифмиче-

ским д фференц рован ем.

Пр мер

бАy' = x cos x ln x + sin x x .

xsin x

> 0).

y'.

Решен е.

Прологар фмируем

равенство ln y = sin x

ln x, получим

(ln y)' = (sin x ln x)'. Теперь вычисляем производные и выражаем y':

1 y' = cos x ln x + sin x 1;

y' = xsin x

(cos x ln x + sin x

или

sin x

sin x 1

Заметим, что производную показательно-степенной функции

y = u(x)v(x), где u(x)

> 0; u(x),

v(x) – дифференцируемые функции,

можно вычислить другим способом.

Предварительно преобразуем функцию:

y u

ln uv

v ln u

Теперь

можно

продифференцировать

Иданную явно заданную

функцию как сложную.

v ln u

y e

ln u ln u e

ln u

u .

176

Покажем данный прием на примере.

Пример

y xsin x (x > 0). Найти y'.

Решение. Преобразуем функцию

y xsin x eln xsin x

esin x ln x .

Д фференц руем ее теперь как сложную функцию:

sin x ln x

y e

sin

ln x =

sin x ln x

cosx ln x sin x

=xsin x cosx ln x sin x 1

бА

Рассмотрим теперь параметрическое уравнение линии на плос-

кости, в котором переменные x, y являются функциями третьей пере-

менной t (называемой параметром):

x (t);

t X.

y g(t),

Функция x = (t) на некотором интервале изменения t имеет об-

ратную функцию t = 1(x).

Тогда

y = g( 1(x)). Пусть x = (t);

y = g(t) имеют производные, причем xt

На

По правилу дифференцирования сложной функции,

yx yt tx .

основании правила

дифференцирования

обратной

функции

, поэтому

177

при x = (t).

Итак, производная параметрически заданной функции имеет вид

;

чески

x (t).

Получена формула производной функции, заданной параметри-

бА

Пр меры:

1. Пусть функц я y, зависящая от x, задана параметрически:

x acost;

0 t

2 .

y bsint,

Найти yx .

bcost

Решение. yx xt

= asint

= –a ctg t ;

acost .

Получили производную:

x acost;

ctg x.

2. Найти угловой коэффициент k касательной к циклоиде в точке

M0, соответствующей значению параметра t0 =

Решение. Параметрическое уравнение циклоиды имеет вид

x a(t sint);

y a(1 cost).

178

Поэтому yt = a sin t;

= a (1 – cost);

asint

sint

a(1 cost)

(1 cost)

это функция вида

Итак, производная циклоиды –

x a(t sint);

sin t

при

1 cos t

Угловой коэфф ц ент касательной в точке M0

равен значению

бА

sin

2(2

2)=

2 2

k =

+1,

1 cos

4 2

k =

2+1.

3. Продифференцировать неявно заданную функцию

2xy2 x2 y x2 2 0.

Решение. Продифференцируем обе части данного уравнения по пере-

менной x, учитывая при этом, что y является функцией аргумента х.

Получим

(2xy

y x

4xyy

2xy x

2x 0.

Из этого равенства выразим производную yx :

4xyy x2y 2xy 2y2

2x,

179

откуда

y 2xy 2y2 2x. 4xy x2

С
4.	Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
		x 2cost2;

		y sint 3t.

ческиy

Решен е. Используем правило дифференцирования функции, задан-

ной параметр

yt . Получим

бА

(sint

cost 3

3 cost

(2cost

2( sint

) 2t

4tsint

)

Итак,

3 cost

;

4tsint2

x 2cost2.

5. Найти производную функции y (sin x)sin x с помощью лога-

рифмического дифференцирования.

Решение. Дана функция

y (sin x)sin x. Поэтому

ln y ln(sin x)sin x;

sin x

(ln(sin x)

) ;

y (sin xlnsin x) ;

180

y y(cosxlnsin x sin x cosx)

sin x

(sin x)sin x (cosxlnsin x sin x ctg x).

функцию

y (sin x)sin x

иначе.

Сначала

Продифференцируем

преобразуем функц ю:

sin x ln sin x

y (sin x)

sin x

ln sin x sinx

Теперь спользуем

формулу

дифференцирования

сложной

функц

y (sin x)sin x

esin x ln sin x

esin x ln sin x (sin xlnsin x)

esin x ln sin x (cosxlnsin x sin x cosx)

sin x

(sin x)sin x (cosxlnsin x sin x ctg x).

Получилиб, что А

(sin x)

sin x

(cosxlnsin x sin x ctg x).

(sin x)

§ 38. Основные теоремы о дифференцируемыхИфункциях

Теорема Ферма (прил. 30). Пусть функция f (x) определена, непрерывна на интервале (a, b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает свое наибольшее или наименьшее значение. Если в точке x0 существует производная этой функции, то

f (x0 ) = 0.

Доказательство. Пусть для определенности функция

181

принимает в точке x0 наибольшее значение на (a, b). Покажем, что f ' (x0) = 0. Используем определение производной в точке x0:

f (x0 ) = lim

f (x0 x) f (x0)

x 0

Так как f (x0) – наибольшее значение, то при любом знаке

имеем f(x0 + x) – f(x0) <

Отсюда,

если x

> 0, то

f (x0 x) f (x0)

< 0, а поэтому

0 .

f (x )

С0

то

же пр ращение аргумента отрицательно x < 0,

f (x0 x) f (x0)> 0, поэтому

f (x0) 0.

f (x0)

Так

как

– определенное число,

то

получаем,

что

Если

f (x0)= 0, что

тре овалось доказать.

Геометрический смысл теоремы Ферма

На рис. 96 изо ражена непрерывная функция.

бА

y f (x)

Рис. 96

В точке x1 функция принимает наибольшее значение M, а в точке x2 – наименьшее значение m.

182

Заметим, что

f ( x1) = f ( x2) =kкасательной = 0.

	Итак, касательные к графику функции y = f (x) в точках экс-
тремума x1		и x2	параллельны оси Ox.					непрерывна на отрезке
	Теорема Ролля. Если					функция f (x)
[a, b], д фференц руема в каждой точке интервала (a, b) и f (a) = f(b),
то	существует		по	крайней		мере	одна внутренняя точка x0 отрезка
[a, b], такая, что f ' (x0) = 0.
	Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке [a, b],
С
то, по теореме Вейерштрасса, она достигает на этом отрезке своего
		значен я M и своего наименьшего значения m .
	Если M = m, то функция f (x) постоянна на отрезке [a, b], а пото-
му	f ' (x) = 0 в лю ой точке x (a, b).
	Рассмотр м			случай,		когда	M > m.	Так как, по условию,
наибольшего
f(a) = f(b), то л			о на		ольшее значение M, либо наименьшее значе-
ние m, л бо		M,		m достигаются во внутренней точке x0 интервала:
x0	(a, b). Выполнены				все	условия теоремы Ферма и поэтому
f (x0 )= 0.		Геометрический смысл теоремы Ролля

ГеометрическибАтеорема Ролля утверждает (рис. 97), что если функция непрерывная на [a, b], дифференцируемая на (a, b) и имеет на концах отрезка [a, b] одинаковые значения, то найдется точка x0

(a, b), для которой касательная к графику параллельна оси абсцисс.
	y				Д
	y						И
						M


		y = f(x)

	f(a) = f(b)

0						x0	b	x
0			a			x0	b	x
				Рис. 97

183

Теорема Лагранжа. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b), то найдется хотя бы одна внутренняя точка x0 отрезка [a, b], такая, что верна формула

С			f (x0 )=		f (b) f (a)			.		(9)
			f (x0 )=					.		(9)
						b a
						b a
	Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
[aфункции, b] непрерывны f(x) и (x – a).
		F(x) = f(x) –		f (b) f (a)			(x – a).
					b a
	Покажем, что функция F(x) удовлетворяет всем условиям тео-
	бА
ремы Ролля.
	Действ тельно, функция F(x) непрерывна на [a,									b], так как на
	Про зводная F ' (x) имеет вид
		F '				f (b) f (a)
									.	(10)
			(x) = f (x) –						.	(10)
						b a
	Производная существует в интервале (a, b), как и производная

f (x). Вычислим значения F(x) на концах отрезка [a, b]:
	F(a) = f(a) – f (b) f (a)(a – a) = f(a);
				b a
								И
	F(b) = f(b) – f (b) f (a)(b – a) = f (b) – f								(b) + f (a) = f (a).
		b a		Д
	Значит, F(a) = F(b).
	Все условия теоремы Ролля выполнены для функции F(x). По
теореме Ролля найдется точка x0					(a, b), такая, что F'(x0) = 0. Подста-
вив x0 в равенство (10), получим

F'(x0) = f (x0 )– f (b) f (a)= 0, b a

откуда получаем формулу (9):

184

f (x0 )=

f (b) f (a)

b a

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

f(b)

f(a)

Рис. 98

Отношение

f (b) f (a)

есть угловой коэффициент tg хорды

b a

AB (рис. 98),бсоединяющейАточки A(a, f (a)), B(b, f (b)), f' (x0) – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x), проведен-

ной в точке M0(x0, f (x0)), и f (x0 ) = tg .

Теорема Лагранжа утверждает, что на графике функции y = f(x)
найдется хотя бы одна точка M0, в которой касательная к графику
параллельна хорде AB.	И
Заметим, что равенство (9) можноДзаписать в виде
f	(b) – f (a) = f (x0)(b – a).	(11)
Формулу (11) называют формулой Лагранжа и		читают: прира-
щение дифференцируемой функции на отрезке a,b		равно длине от-
резка, умноженной на значение производной от этой функции в неко-
торой внутренней точке сегмента.
Обозначив x0 = c;	a = x0; b – a = x; b = x0 + x, из формулы
(11) получаем формулу

185

f(x0 + x) – f(x0) = f (c) x.	(12)
Равенства (11) и (12) называют формулами конечных прираще-

ний, а теорему Лагранжа – теоремой о конечных приращениях. При этом теорема Лагранжа переформулируется следующим образом:

Теорема Лагранжа. Приращение дифференцируемой функции на отрезке равно произведению длины отрезка на значение производной этой функц в некоторой внутренней точке отрезка.

ледств е теоремы Лагранжа (признак постоянства функ-

цииПусть x – про звольная точка отрезка [a, b], не совпадающая с a, тогда по формуле (11) конечных приращений применительно к отрез-

ции). Если функц я f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и во всех внут-

ренних точках этого отрезка f		(x) = 0, то функция f (x) постоянна на
С
отрезке [a, b].
Доказательство. Известно, что производная постоянной функ-

равна нулю. Докажем о ратное утверждение.

ку [a, x] меем
	f (x) – f (a) = f (x0)(x – a),
где x0 (a, x).	Так как, по условию, f (x0) = 0, то f( x) = f (a).
Следовательно, x [a, b]: f (x) = f (a) и поэтому f (x) – по-
стоянна на [a, b].
бА
Теорема Коши. Пусть функции f (x), g (x) непрерывны на отрез-

ке [a, b], дифференцируемы на (aД, b), причем f '(x) 0 для любой точ-

ки x из интервала (a, b). Тогда существует внутренняя точка x0 отрезка

[a, b], такая, что				И
[a, b], такая, что
	f (b) f (a)	=	f (x0)	.
(b) (a)		=	(x0)	.
(b) (a)			(x0)

Доказательство. Отметим, что f (b) f (a), так как в противном случае, по теореме Роля, f ' (x) = 0 в некоторой точке x (a, b).

Введем вспомогательную функцию

F(x) = f (x) – f (b) f (a)(f (x) – f (a))(b) (a)

186

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3124 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20214.82 Mб102270.pdf
#
07.01.20214.82 Mб412271.pdf
#
07.01.20214.82 Mб52272.pdf
#
07.01.20214.85 Mб32273.pdf
#
07.01.20214.86 Mб382276.pdf
#
07.01.20214.86 Mб102277.pdf
#
07.01.20214.86 Mб422278.pdf
#
07.01.20214.88 Mб392279.pdf
#
07.01.2021360.3 Кб9228.pdf
#
07.01.20214.88 Mб972280.pdf
#
07.01.20214.89 Mб132281.pdf