7. Энергетический смысл и геометрическая интерпретация уравнения д. Бернулли для идеальной жидкости.

Уравнение Д.Бернулли является уравнением энергетического баланса потока. Для потока идеальной жидкости полная удельная энергия потока для различных его сечений остается величиной постоянной.

Как известно, полная энергия потока складывается из потенциальной энергии положения Е_Z энергии давления Е_P, а также кинетической энергии движения Е_K. В свою очередь: потенциальная энергия положения определяется как Е_Z=mgz; энергия давления ; кинетическая энергия . Если энергией обладает единица веса перекачиваемой жидкости ( , при м³/с , Н/с), то в этом случае говорят об удельной энергии жидкости. Тогда удельная потенциальная энергия (УПЭ) положения будет выражена:

(5.1)

Рисунок 5.1 – Графическое представление уравнения Бернулли

Удельная энергия давления :

(5.2)

Удельная кинетическая энергия потока (УКЭ) идеальной жидкости будет равна:

(5.3)

Для двух различных сечений потока идеальной жидкости, приведенного на рисунке 5.1, уравнение Бернулли примет вид:

(5.4)

Слогаемые уравнения (5.4) поясняются схемой на рисунке 5.2.

Рисунок 5.2 – К определению удельной энергии потока

Как следует из уравнения (5.4), все его слагаемые имеют размерность длины. Поэтому уравнению Бернулли наряду с энергетическим толкованием дается и его геометрическое толкование (см. рисунок 5.3).

Рисунок 5.3 – Геометрическое толкование уравнения Бернулли для идеальной жидкости. В потоке идеальной жидкости ( ) произвольно выберем сечениея 1-1, 2-2 и 3-3. В этих сечениях установим прямые трубки (пьезометры) «а» и трубки с изогнутым устьем навстречу потоку – трубки «b», называемые трубками (пьезометрами) полного напора. Жидкость в обоих трубках поднимется на некоторую высоту. Причем в трубках «b» высота подъема будет больше ввиду того, что трубка показывает помимо статического давления в каждом сечении еще и учитывает динамическое воздействие частиц набегающей жидкости на жидкость находящуюся в трубках. Линия, проведенная по отметкам b₁,b₂ и b₃ ,будет называться линией полных напоров, а линия а₁,а₂ и а₃ – линией пьезометрических напоров. Расстояние от плоскости сравнения 0-0 до центров выбранных сечений z₁, z₂ и z₃ представляет собой геометрический напор, или нивелирную высоту. Высоту равную – соответствующую гидростатическому давлению в рассматриваемом живом сечении называют пьезометрическим напором. Слогаемое – динамический, или скоростной напор. Из приведенного рисунка 5.3 ясно, что трубка «b» измеряет полную удельную энергию потока, а трубка «а» – только потенциальную. Поэтому разность высот подъема жидкости в пьезометрах «b» и «а» указывает на удельную кинетическую энергию потока.Здесь же стоит отметить и тот факт, что при перемещении потока от сечения 1-1 где его площадь S₁, до сечения 2-2, площадь которого S₂, скорость движения частиц соответственно меняется от до . Причем , а следовательно, скоростной напор в первом сечении больше скоростного напора во втором сечении . При z₁=z₂ налицо переход кинетической энергии потока во втором сечении в потенциальную. Взаимный переход одного вида энергии в другой и обратно называют трансформацией Бернулли. Разность показаний пьезометров «а» и «b» положена в основу принципа действия прибора для определения скорости движения потока. Этот прибор называется трубкой Пито-Прантля.

8. Уравнение Д. Бернулли для потока реальной жидкости и его геометрическое и энергетическое представление. Корректив кинетической энергии потока. Коэффициент Кориолиса. Вследствие наличия у реальной жидкости свойства вязкости ( , а следовательно и ) при ее движении возникают силы трения. Они действуют как между соседними слоями жидкости, так и на границе соприкосновения жидкости со стенкой. Поэтому реальное распределение скоростей в потоке реальной жидкости существенно отличается от распределения скорости по сечению потока идеальной жидкости. На компенсацию сил трения из потока расходуется механическая энергия, которая переходит в тепловую и рассеивается (диссипируется) в потоке жидкости. Следовательно, при движении реальной жидкости полная энергия потока в направлении его движения должна уменьшаться на величину рассеиваемой (диссипируемой) энергии ∑h_п

Для двух сечений потока вязкой жидкости при плавно изменяющемся движении уравнение Бернулли имеет вид:

(5.5)

где ∑h_п – гидравлические потери. . Здесь потери энергии на преодоление сил трения (потери по длине трубопровода) и потери энергии на преодоление местных сопротивлений.

α – называется коррективом кинетической энергии потока, или коэффициентом Кориолиса. .

Рисунок 5.4 – Геометрическое представление уравнения Бернулли для реальной жидкости. 1– трубка статического напора (пьезометрического);

2–трубка полного напора (гидродинамическая трубка); а₁–а₂ пьезометрическая линия; b₁–b₂ линия полных напоров.

Коэффициент Кориолиса учитывает неравномерность распределения скоростей (кинетических энергий) по живому сечению потока и представляет собой отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, посчитанной по его средней скорости. Значение этого коэффициента зависит от режима движения. Для турбулентного α=1,05÷1,15, для ламинарного α=2,0. Более точно, для переходного режима, коэффициент Кориолиса может быть определен из уравнения:

(5.6)

где λ – коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси).

В соответствии с уравнением (5.5) полная удельная энергия потока реальной жидкости для двух сечений 1–1 и 2–2 запишется в виде:

(5.7)

Из последнего уравнения следует, что энергия потока реальной жидкости уменьшается при ее перемещении от одного сечения к другому на величину гидравлических потерь . Геометрическое толкование уравнения Бернулли для потока реальной жидкости приведено на рисунке 5.4.

Для прямого трубопровода ( т.к. ), постоянного диаметра ( следовательно по уравнению секундного расхода и, следовательно, будут равны скоростные напоры в рассматриваемых сечениях ). Если принять во внимание что трубопровод горизонтально расположен в пространстве ( ), то уравнение (5.5) упростится до вида: (5.8)

Для газов уравнение Бернулли представляется через давления (5.11) т.к. газы являются сжимаемыми средами у которых изменяется плотность при изменении давления. (5.11)

Как ранее отмечалось расход подвижной среды в трубах и каналах определяется по величине средней скорости потока, которая, в свою очередь, может быть установлена по показаниям прибора в состав которого входят два пьезометра: прямой и пьезометр с устьем загнутым на встречу потоку и устанавливаемый, как правило, по оси потока ( см. рисунок 5.6).

Прямая трубка 1 фиксирует статический напор: а трубка 2 с устьем загнутым на встречу потоку и установленная в непосредственной близости от пьезометра 1 будет фиксировать не только статическое давление р_СТвыраженное через напор но и динамическое р_СК от набегающего потока. Величина этого давления выражается через удельную кинетическую энергию потока: . Поэтому данная трубка называется трубкой полного давления и она фиксирует полный напор потока:

или (5.11)

Рисунок 5.6 – Определение местной скорости потока

Трубки 1 и 2 обычно объединяются в прибор, который называется трубкой Пито – Прандтля и который, в свою очередь, свободными концами присоединяется к плечам дифференциального U – образного манометра 3 (рисунок 5.7).Разность уровней жидкости в плечах манометра характеризует скоростной напор, по которому возможно определить скорость потока в месте установки трубки 2.

Из равенства давлений в сечении С – С определяется скоростное давление в потоке в месте установки трубки:

(5.12)

Рисунок 5.7 Трубка Пито Прандля и ее применение для определения местной скорости потока.

1 – пьезометр (трубка статического напора); 2 – трубка полного напора (Пито); 3 U образный манометр.

Поток маловязкой жидкости движется всегда в турбулентном режиме, для которого коэффициент Кориолиса . Трубка Пито возмущает поток, уменьшая площадь его сечения, поэтому действительная скорость потока корректируется коэффициентом сжатия потока φ. Его величина обычно колеблется в пределах 1,01∸1,03. С учетом всего этого уравнение (5.12) принимает вид уравнения (5.13):

С помощью уравнения Бернулли решаются многие задачи практической гидравлики. При этом полезно руководствоваться следующими соображениями:

1) уравнение Бернулли составляется для двух живых, т. е. нормальных к направлению скорости, сечений; эти сечения должны располагаться на прямолинейных участках потока;

2) одно из этих сечений следует брать там, где требуется определить или р, или υ, или z; другое сечение рекомендуется брать там, где р, υ и z известны;

3) нумеровать расчетные сечения следует так, чтобы жидкость двигалась от 1–го ко 2–му; в противном случае должен быть изменен на обратный знак h_п1-2;

4) горизонтальную плоскость сравнения желательно по высоте совмещать с тем из двух расчетных сечений, которое располагается ниже; тогда один из z выпадет из уравнения, а второй–будет величиной положительной;

5) последний член уравнения должен учитывать все потери;

6) когда площадь выбранного сечения сравнительно большая, скоростной напор и скоростное давление в нем являются ничтожно малыми по сравнению с другими членами уравнения и, поэтому, это слогаемое приравнивается нулю.