Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ryady_Vychety_Integraly

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2015

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Чувашский государственный университет имени И.Н.Ульянова»

КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Ряды. Вычеты. Интегралы

Методические указания

Чебоксары 2012

Занятие 11. Ряд Тейлора

Если функция f(z) аналитична в точке 0, то она в окрестности этой точки разлагается в ряд Тейлора

∞

( −

) ,

(1)

где

( 0)

, n=0,1,2,…

Радиус сходимости степенного ряда

(1) вычисляется по форму-

ле Коши-Адамара:

= lim

→∞

Справедливы известные из курса математического анализа разложение для следующих функций:

∞

= 1 + + 2 + …

при < 1;

1 −

1 + = 1 + ∞

− 1

…

− + 1

= 1 + +

− 1

+ … ,

где

при

< 1;

∞

ln 1 +

−1 −1

= −

+ …

при < 1;

∞

= 1 + +

+ …

при ;

∞

2 +1

sin =

−1

= −

− …

при ;

2 + 1 !

∞

cos =

−1

= 1 −

− …

при ;

2 !

∞

2 +1

sh z =

= +

+ …

при ;

2 + 1 !

∞	z2n		z2		z4
ch z =		= 1 +		+		+ … при .
	2n!		2!		4!

n=0

Теоретические упражнения

1. Доказать, что функция, аналитическая в области D, имеет производные всех порядков в этой области (бесконечно дифференцируема).

2. Доказать, что функция, гармоническая в области D, имеет непре-рывные частные производные всех порядков в этой области (бес-конечно дифференцируема).

Задачи

1. Найти радиусы сходимости рядов

а)

∞

;

б)

∞

−1

=0(3 + (−1) )

Решение: а) по формуле Коши – Адамара =

где

= lim

= 1,

lim

→∞

так как

ln lim

lim

→∞

то

ln lim

= lim ln

= lim

= 0.

→∞

Значит, радиус сходимости ряда R=1;

б) так как коэффициенты

= (3 + (−1) ) =

при четном ,

при нечетном ,

то

= lim

= 4.

lim

→∞

Тогда радиус сходимости ряда =

2. Найти первые три члена разложения функции f(z)

= ctg z

в ряд Тейлора в окрестности точки 0 = 1.

Решение. Найдем f(1),

f '(1), f ''(1).

= 1 ,

′

= −

, ′

1 = −

sin

sin 1

′′

2 cosz

′′

2cos1

sin z

sin 1

Тогда согласно (1)

= ctg1 −

z − 1

cos1

z − 1 2

+ …

sin 1

3. Найти первые 6 членов разложения функции

sinz

в ряд по

степеням z.

Решение. По условию задачи надо получить разложения функции

ряд по степеням z до			5			включительно. Воспользуемся известными
формулами разложений функций										sinz ,		и, оставив в этих разложе-
ниях только члены до 5						включительно, получим:
sinz								3	5			= 2		4
		= −						3!+	5!+ …					− 6 + … =
= 1 + 2 −			4		+ … +					1	2	−	4	+ … 2 + … =
	6								2!				6

= 1 + 2	−			4		+	1	4	+ … = 1 + 2 +						4	+ …
					6		2								3

4. Следующие функции разложить в ряд Тейлора в окрестности указанных точек и найти радиусы сходимости R и области сходимости рядов:

a)3+1 , 0 = ;

в) 1+1 2 , 0 = 0;

д) sin 2z − z2 , z0 = 1;

2−5 б) 2−5 +6 , 0 = 0;

г) ln		+	, ≠ 0, ≠ 0, = 0;
г) ln			, ≠ 0, ≠ 0, = 0;
		+		0
		+
е)	sin ,			.
				0

Решение:

а) запишем дробь в виде:

3 +

3 + + ( − )

3 +

1 − (−

−

)

3 +

−

Когда −

< 1, т. е. −

3 + или

− <

10, последняя

дробь является суммой бесконечно убывающей геометрической

прог-рессии и можно записать

∞

−

∞

(−1)

(−

) =

( − 1) .

3 +

(3 + )

Этот ряд сходиться при

−

10 , поэтому радиус сходимости

ряда R=

10 и областью сходимости будет круг −

< 10 . Заме-

тим, что радиус сходимости полученного ряда можно найти и по

формуле Коши – Адамара;

б) Разложив функцию на простые дроби, получим

2 − 5

2 − 5 + 6

− 2 ( − 3)

− 2

− 3

= −

−

1 −

Когда одновременно

< 1 и

< 1, т. е.

< 2, полученные дро-

би разлагаются в бесконечно убывающие геометрические ряды и

= − 2

∞			1	∞	1		1
								.
		−				+
=0	2		3	=0	2 +1		3

Радиус сходимости полученного ряда равен 2 и областью сходимости

ряда является круг

< 2;

′

в) заметим, что

= −

1+ 2

Последняя дробь разлагается в ряд

∞

(−1) ,

1 +

1 − (−)

который сходится внутри круга

< 1. Следовательно, этот ряд

мож-но почленно дифференцировать:

∞

′

∞

= −

(−1) =

(−1)−1 −1

(1 + )

∞

=−1 ( + 1) .

Радиус сходимости полученного ряда равен 1 и ряд сходится в круге

< 1;

г) выполним преобразования:

= ln + − ln + = ln 1 +

− ln 1 +

= ln

+ ln(1 +

) − ln(1 +

)

∞ (−1)−1

∞

(−1)

= ln

−

= ln

∞ (−1)−1 1

−

Это разложение справедливо, когда одновременно

< 1 и

1, т.е. < min

a , b

. Следовательно , R=min

a , b

и ряд схо-

дится в круге

< ;

д) так как надо получить ряд по степеням (z −1), то, записав

sin 2z − z2

в виде

sin 2z − z2

= sin 1 − 1 − z 2

= sin 1 ∙ cos z − 1 2 −

− cos 1 ∙ sin(z − 1)2

и разложив sin(z − 1)2

и cos(z − 1)2 в ряды, получим:

sin 2z − z2

∞

−1

4 −

= sin1 ∙

− 1

2 !

∞

−1

( − 1)2

− cos1 ∙

− 1

4 +2 =

sin(1 +

)

2 + 1 !

Так как разложения sinz

cosz справедливы для всех z, то R=+∞

и ряд сходится во всей комплексной плоскости;

е) выразив sinz

через показательную функцию получим:

sin =

−

1− =

1 ∞ 1 +

−

∞ 1 −

1 ∞ 1 +

− 1 −

∞

22 sin

4 !

Здесь было использовано равенство:

1 + − 1 − =

−

−4

= ( 2)

− −4

= 22

∙ 2 sin .

Полученный ряд сходится во всей комплексной плоскости и R=+∞.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти рудиусы сходимости рядов

а) ∞=0 2 ;

б) ∞=0(3 + ) .

2. Найти первые три члена разложения функции	1	в ряд Тей-
2. Найти первые три члена разложения функции	sin	в ряд Тей-
	sin
лора в окрестности в точки 0 = −.

3. Найти первые 6 членов разложения следующих функций в ряд

по степеням z:

а) ln

1 +

;

б)

cos .

4. Следующие функции разложить в ряд Тейлора в окрестностях

указанных точек и найти радиусы R сходимости рядов:

а)

= 1;

б)

= 0;

2−4 +13

, 0 = 0;

г) ln 2 − 3 + 2 ,

= 0 ;

в) (1+ 3)2

д) sin2 ,

0 = 0;

е)

ch z∙cos z ,

0 = 0;

ж)

= .

Ответы и указания

1. а) 1; б) 1.

2. −

−

cos

+ −

1 + cos2

( + )2

+ …

sin

sin i

2sin

3 5

3. а)

+ … ; б) 1 −

−

+ …

4. а)

− 2

∞

−1

( − 1)

, = 3.

Записать дробь в виде 1 −

б)

∞	2 − 3		− 2 + 3		1	∞	3

				=				,
						132 sin arctg
		13			3		2
=1						=1

= 13 .

в) ∞=0 −1 + 1 3 , = 1.

г) Разложить выражение 2 − 3 + 2 на простые множители.

д)	∞	(−1) +1	22 −1	2	, = +∞ .	Воспользоваться формулой
д)	=1	(2 )!			, = +∞ .	Воспользоваться формулой
		(2 )!

sin2 = 12 1 − cos2z .

е) Функции ch z и cos z выразить через показательную функцию.

ж)	′	∞ (−) .
ж)		=0	!
			!
				Занятие 12. Ряд Лорана
		Если функция f(z) аналитична					в кольце	<	− 0	< , 0 ≤
< ≤ ±∞,то она в этом кольце разлагается в ряд Лорана
					∞
				=		( − ) .
							0
					=−∞
			Ряды
				−1			∞
				( − )		и	( − )
					0			0
				=−∞			=0

называют соответственно главной и правильной частями ряда Лорана.

Если	функция аналитична в	проколотой	окрестности
0 < − 0	< точки 0 , то говорят о	ряде Лорана	окрестности
точки 0.

Ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки имеет

вид:

∞

=		,

=−∞

укоторого главной и регулярной частями будут соответственно

ряды

∞0

	и		.

=1		=−∞

На практике разложение функции в ряд Лорана обычно сводят каким-нибудь образом к разложениям в ряды Тейлора.

Теоретические упражнения

1. Доказать, что если коэффициенты главной части ряда Лорана не равны нулю и существует конечный предел

lim

− −1

= , то главная асть ряда Лорана сходиться в

→∞

−

кольце − 0

> .

2. Доказать, что если у ряда Лорана существует конечный

предел lim

= , то главная часть ряда Лорана схо −

→∞

−

дится в кольце

− 0 > .

3. Доказать, что если ряды

∞

( − ) и

∞

( −

)

=−∞

имеют одну и ту же сумму f(z) в кольце < − 0

< , 0 ≤ < ,

то

= (свойство единственности разложения в ряд Лорана).

Задачи

1. Функцию 2− −6 разложить в ряд Лорана в кольце 2 < − 1 < 3 и указать главную часть разложения.

Решение. Разложив функцию на простые дроби, имеем:

=	5	=	1	−	1	=	1	−	1	.

	2 − − 6		− 3		+ 2		− 1 − 2		− 1 + 3
Так как 2 < − 1 < 3,			то для того, чтобы разложить полученные

дроби в бесконечные убывающие геометрические ряды, вынесем в знаменателе первой дроби за скобку множитель z-1, а у второй дроби-

множитель 3. Тогда

∙

−

∙

− 1

1 −

1 − −

− 1

где

< 1, −

− 1

< 1,

в силу чего

− 1

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.02.2015222.21 Кб30Regulyatsia_serdechnoy_deyatelnosti.doc
#
16.08.2019446.46 Кб0rehcjdfz Bytccs.doc
#
14.04.20151.09 Mб20RELIGOVEDENIE_otvety.pdf
#
07.02.2015202.24 Кб11Retsepty-shpory.doc
#
07.07.2019169.9 Кб6russky_yazyk.docx
#
07.02.20151.13 Mб5Ryady_Vychety_Integraly.pdf
#
07.02.201519.1 Кб36R_M_Magomedov.docx
#
26.04.2019239.62 Кб3s3_filosofiya_ochen_kratkie_lektsii.doc
#
03.11.20184.88 Mб59SAEU_kurs_lek..docx
#
24.09.20193.13 Mб5SAMost.docx
#
12.11.2018537.09 Кб8SAOD_L_1.doc