Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ryady_Vychety_Integraly

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2015

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

		∞
	=
	=
	−∞

			= 2π					,	,		(3)
						=				+
						=
						=1
причем
	∞						∞
			cos = Re ,						sin = Im .
	−∞						−∞
			Теоретические упражнения
1.	Доказать, что если функция							удовлетворяет условиям
	теоремы 3 и является четной , то
				∞
			=			cos λ
				0

						= π	, ,				(4)
							=			+
						=1	=
						=1
	где	,	, … ,		− полюса функций					в верхней полу-
	1	2
	плоскости.
2.	Доказать, что если функция							удовлетворяет условиям
	теоремы 3 и является нечетной , то
			∞
	=				cos λ = π					, , (5)
								=			+
								=
		0					=1
	где	, , … ,			− полюса функций					в верхней полу-
	1	2
	плоскости.
						Задачи
1.	Вычислить интегралы:

2π

а) = 0

;

5+3 cos φ

б) =

∞

;

−∞

2+1 2+9

в) =

∞

;

−∞

2−4 +20

∞

cos 5

г) =

;

2+9 2

д) =

∞

sin

2−2 +10

Решение: а) воспользуемся формулой (1). Заменив cos φ

на

найдем функцию

5 + 3

+ 1

3 2 + 10 + 3

Решая уравнение 3 2 + 10 + 3 = 0 , найдем особые точки функции

= −

= −3 , являющиеся простыми полюсами. Из них только

точка 1

расположена в единичном круге. Следовательно,

= 2π

= 2π ∙

;

(3 2 + 10 + 3)′

=−

б) функция

2 + 9 2 + 1

Удовлетворяет всем условиям, при выполнении которых справедлива формула (2). Она имеет в верхней полуплоскости два простых полюса1 = и 2 = 3 , поэтому

= 2π + 3 = 4 ;

в) подынтегральная функция имеет в верхней полуплоскости один простой полюс = 2 + 4 и удовлетворяет всем условиям, при выполнении которых справедлива формула (3), поэтому

= 2

= 2π

− 4 + 20

(

− 4 + 20)′

=2+4

−4

cos 2 − 2 sin2 + sin2 + 2 cos 2

;

г) согласно теореме 3 и в силу четности подынтегральной функции

∞

cos5

∞

+ 9

−∞

Так как функция

имеет в верхней полуплоскости лишь

2+9 2

один полюс 2 –го порядка

= 3 , то

4π−15

2π

;

2 + 9

д) положим

и рассмотрим интеграл

2−2 +10

∞

cos

∞

sin

2 − 2 + 10

−∞

Так как функция имеет в верхней полуплоскости лишь один простой полюс = 1 + 3 , то согласно теореме 3

																												π
= 2π																			= 2π					=				π		1 + 3					−3+ .
= 2π												2							= 2π					=						1 + 3					−3+ .
		=1+3										2		− 2 + 10							2 − 2 =1+3						3
														− 2 + 10							2 − 2 =1+3						3

Выделяя мнимую часть интеграла , окончательно получим:
														= =					−3	3 cos 1 + sin1 .
														= =					3	3 cos 1 + sin1 .
									Задачи для самостоятельного решения
Вычислить интегралы:
		2π							cos 2 φ															2π						cos 2 3φ
1.																φ.						2.		0													φ.
1.	0				13+12 cos φ											φ.						2.		0		1−2 cos φ+ 2											φ.
2.	3.								π		cos 4 φ							φ.				4.		∞												.
2.	3.							0		1+sin 2 φ								φ.				4.		−∞			2+4 +13 2									.
	∞			2+1																				∞					−3
5.										.												6.		−∞										.
5.	−∞ 4+1									.												6.		−∞	2−6 +109									.
7.		∞													.							8.		∞				+1 sin 2							.
7.	−∞					2−2 −2									.							8.		−∞					2+2 +2						.
			∞						cos															∞				sin
9. а)																	;						б)	−∞									.
9. а)			−∞ 2−2 +10														;						б)	−∞			2−2 +10						.
																		Ответы и указания
	13																												π 6+1
1.		π.																						2.								.
1.	45	π.																						2.					6 2−1			.
3. 2π									−		5		.											4. −						π	.
							2				5																			π
							2
										4																	27

				6. π 3 −10.
5.	π 2.
7.	−2π −1 sin1.			8. π −2 cos 2.
		π			π
9. а)			cos 1 − 3 sin1 ;	б)		3cos 1 +
		3 3			3 3

sin1 .

Контрольная работа №3 Вариант 1

1.	Функцию		разложить в ряд Тейлора в окрестности точки

		+3
		+3
	0 = − и указать область сходимости ряда.
2.	Функцию ∙ cos			1	разложить в ряд Лорана в проколотой ок-
2.	Функцию ∙ cos			−2	разложить в ряд Лорана в проколотой ок-
				−2

рестности точки 0 = 2 и указать главную часть ряда.

3. Функцию 2+4 разложить в ряд Лорана в кольце 1 < − < 3.

4. Найти особые точки следующих функций и указать их тип:

а) sin ;	б)	2			.
		1−cos	2	+9 2

5. Считая, что контур γ обходится против часовой стрелки, вы-


				sin
числить интеграл					,	γ: = 3.
числить интеграл				+1 2	,	γ: = 3.
6.	Вычислить интегралы:
	2π		;	+∞		+1 cos 3	.
а)				б) −∞
а)	0	5−3 sin		б) −∞		2+2 +5

Вариант 2

1. Функцию ln 5 − разложить в ряд Тейлора в окрестности точки 0 = 2 и указать область сходимости ряда.

2. Функцию 3+5 3 разложить в ряд Лорана в проколотой окрестности точки 0 = ∞ и указать главную часть ряда.

Функцию

разложить в ряд Лорана в кольце

1 < +

< 5.

Найти особые точки следующих функций и указать их тип:

sin

а)

;

б)

−1

2−4

−2 3

Считая, что контур γ обходится против часовой стрелки, вы-

числить интеграл

cos

γ: = ,

> 1.

−1 2

Вычислить интегралы:

+∞

а)

−

;

б)

13+5 cos

−∞

( 2+4)( 2+16)

Список рекомендуемой литературы

1.Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука, 1972. 240с.

2.Волковыский Л.И. и др. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1975. 319с.

3.Евграфов М.А. и др. Сборник задач по теории аналитических функций. М.: Наука, 1972. 412с.

4.Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функ-

ций. М.: Наука, 1978. 415с.

5.Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. М.: Просвещение, 1977. 320с.

6.Посицельская Л.Н. Теория функций комплексного переменного в задачах и упражнениях: учеб. пособие. М.:МИИ, 1997, 94с.

7.Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977. 444с.

8.Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1979. 304с.

9.Сидоров Ю.В. и др. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1976. 407с.

Оглавление

Занятие 11 Ряд Тейлора…………………………………………....3 Теоретические упражнеия………………………...….4 Задачи…….…………………………………………...4 Задачи для самостоятельного решения…………….8

Ответы и указания…………….……………………...9 Занятие 12 Ряд Лорана………………………..………………….10

Теоретические управления………………………….11

Задачи………………………...……………………...11 Задачи для самостоятельного решения………..….14 Ответы и указания……………………………….…14

Занятие 13 Особые точки однозначной аналитической функций………………………………………..15

Теоретические упражнения……………..………….17

Задачи………………………………………………..17 Задачи для самостоятельного решения……...…….21 Ответы и указания…………………..……………...21

Занятие 14 Вычеты. Вычисление интегралов по замкнутому контуру………………..……………………22

Теоретические управления……………………..…..24 Задачи………………………..……………………...24 Задачи для самостоятельного решения…………...29 Ответы и указания……………………..…………...30

Занятие 15 Интегралы от периодических функций и интегралы по бесконечному промежутку…………31

Теоретические управления………………………....32 Задачи……………………..………………………...32 Задачи для самостоятельного решения………..….34 Ответы и указания…………………..……………...35

Контрольная работа №3………………..………………………….36

Список рекомендуемой литературы…………..………………….38

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.02.2015222.21 Кб31Regulyatsia_serdechnoy_deyatelnosti.doc
#
16.08.2019446.46 Кб0rehcjdfz Bytccs.doc
#
14.04.20151.09 Mб20RELIGOVEDENIE_otvety.pdf
#
07.02.2015202.24 Кб11Retsepty-shpory.doc
#
07.07.2019169.9 Кб6russky_yazyk.docx
#
07.02.20151.13 Mб6Ryady_Vychety_Integraly.pdf
#
07.02.201519.1 Кб36R_M_Magomedov.docx
#
26.04.2019239.62 Кб4s3_filosofiya_ochen_kratkie_lektsii.doc
#
03.11.20184.88 Mб62SAEU_kurs_lek..docx
#
24.09.20193.13 Mб7SAMost.docx
#
12.11.2018537.09 Кб10SAOD_L_1.doc