Ryady_Vychety_Integraly

Главной частью полученного разложения будет ряд

2

=0 −1 +1 содержащие только отрицательные степени z-1.

2.Следующие функции разложить в ряд Лорана в окрестностях ука-∞

занных точек и найти главные части разложений:

Решение: а) ряд Лорана в окрестности ∞ представляет собой ряд по степеням z. Считая z достаточно большим, имеем:

Главная часть разложения равна 0, так как полученный ряд не содержит положительных степеней z;

где ряд сходиться равномерно, в силу чего, продифференцировав обе части последнего равенства, получим:

=0

Занятие 13. Особые точки однозначной аналитической функции

Если функция ( ) аналитична и однозначна некоторой окрестности точки 0 всюду, кроме точки 0 , то 0 называется изолиро-

ванной особой точкой однозначного характера функции ( ), в противном случае 0 называется неизолированной особой точкой.

Различают три типа изолированных особых точек однозначного характера.

1. Точка 0 называется устранимой особой точкой функции( ), если lim→0 ( ) существует и отличен от ∞ или ряд Лорана функции ( ) в окрестности точки 0 не содержи отрицательных сте-

нуля и ∞ , или ряд Лорана функции ( ) в окрестности точки 0 содержит конечное число отрицательных степеней − 0причем наи-

число положительных степеней, причем наивысший порядок положительной степени z равен m , или в окрестности точки 0 = ∞ можно представить в виде = ( ), lim→0 ( ) где существует и отличен от 0 и ∞.

Полюс порядка 1 называется простым.

3. Точка 0 называется существенной особой точкой функ-

ции ( ), если lim→0 ( ) не существует или ряд Лорана функциив окрестности точки 0содержит бесконечное число отрица-

тельных степеней − 0при 0 ≠ ∞ или содержит бесконечное число положительных степеней z при 0 = ∞

Часто встречаются функции видов:

( ), sin , cos ( ) , , .

Для них все полюса аналитической функции являются существенно особыми точками. В частности, функции , sin , … имеют единственную особою точку ∞, которая является существенно особой точкой.

Теоретические упражнения

1.Доказать, что если точка 0 является устранимой особой точкой функции ( ), то существует окрестность точки 0 в которой ограничена.

2.Доказать, что если функция ограничена в некоторой окрестности

своей изолированной особой точки 0, то 0 является устранимой особой точкой.

Задачи

1. Найти особые точки следующих функций и, разлагая их в ряд Лорана, выяснить тип:

Решение: а) функция не определена в точках 1 = 0 и 2 = ∞, которые для нее являются изолированными особыми точками. Других особых точек функция не имеет. Так как разложение sin z в ряд Тейлора справедливо для всех z, то для всех конечных ≠ 0

Полученный ряд представляет собой ряд Лорана исследуемой функции как в окрестности нуля, так и в окрестности бесконечности. В окрестности точки 1 = 0 этот ряд содержит 3 отрицательные степени (коэффициент при −1и −2 равны 0), поэтому 1 = 0 является полюсом порядка 3. В окрестности 2 = ∞ ряд содержит бесконечное число положительных степеней z, поэтому 2 = ∞ существенно особая точка;

б) функция имеет две особые точки 1 = 0 и 2 = ∞, в окрестности которых ряд Лорана имеет один и тот же вид:

откуда видно, что 1 = 0 является существенно особой точкой, а2 = ∞ - устранимой особой точкой.

2. Найти особые точки следующих функций и выяснить их тип:

вкоторых знаменатель обращает в нуль.

Вокрестности точки 1 = 0 функция имеет вид:

б) Записав функцию в виде ( ) + _ , найдем особые точки то-

ки 1 = , 2 = −, и 3 = ∞. Точки 1 = и 2 = − являются простыми полюсами, а точка 3 = ∞ - существенно особой точкой, так

как lim→∞ ( ) не существует;

в) точка 1 = 0 и 2 = ∞, в которых показатель функции обращается в ∞ , будут существенно особыми точками. Других особых точек у функции нет;

г) особыми точками будут = ∞, 0 = 0 и точки, в которых знаменатель первой дроби обращает в нуль, т.е. = 1 откуда, находим:

= ln 1 + 2 = 2 , = 0,±1, …

Точка = ∞ является неизолированной особой точкой, так как в любой окрестности этой функций, кроме самой особой точки = ∞, имеет бесконечно много других точек . Все остальные особые точки являются изолированными.

Применяя дважды правило Лопиталя, находим:

бые точки

0 = ∞, = 1 , = ±1,±2, …,

которые все являются изолированными. так как lim→ = ∞ , а пределы

lim→∞ ( ), lim→ − ( ), = ±1,±2, …

отличны от 0 и ∞, то все эти точки являются простыми полюсами. Кроме этих точек для будет особой еще точка = 0. Так как она является предельной точкой для множества полюсов, = ±1,±2, …, то = 0 - неизолированная особая точка;

е) особыми точками функции будут точки = 2 , = 0, ±1, …, в которых cos = 1и точка = ∞. Как и в случае 2, можно показать, что = 2 , = 0, ±1, …. – устранимые особые точки, а = ∞– неизолированная особая точка, так как она является предельной точ-

изолированной особой точкой; б) данная функция аналитична на всей комплексной плоскости, по-

этому в точке = ∞ имеет изолированную особенность. Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности = ∞. Для этого вынесем в знаменателе z за скобки и, поскольку мы работаем в окрестности бес-

Ряд не содержит положительных степеней , поэтому = ∞ − устранимая особая точка.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти особые точки следующих функций и , разлагая их в ряд Лорана, выяснить тип особых точек:

2. Найти особые точки следующих функций и выяснить их тип:

Ответы и указания

1.а) = 0 − устранимая особая точка, = ∞ − существенно особая точка; б) = 1 − существенно особая точка, = ∞ − устранимая особая точка.

2.а) = ±3 − простые полюсы, = −1, = ∞ − полюсы 3- го порядка; б) = 0 − полюс 2- го порядка, = ∞ − существенно особая точка; в) = 1 − существенно особая точка,= ∞ − полюс 2- го порядка; г) = 0 − устранимая особая

точка, = π, = ±1,±2, … − простые полюсы; = ∞ − неизолированная особая точка; д) = π, = 0, ±1,±2, … − существенно особые точки; = ∞ − неизолированная особая точка; е) = 0 − полюс 2- го порядка; = 2π, =

±1,±2, … − простые полюсы; = ∞ − неизолированная особая точка.

3. а) существенно особая точка; б) устранимая особая точка.

Занятие 14. Вычеты. Вычисление интегралов по замкнутому контуру

Пусть − особая точка однозначного характера аналитической функции . Вычетом функции в точке0 при 0 ≠ ∞ называется величина

где : − 0 = − окружность с центром в точке 0, такая , что внутри нее нет других особых точек, кроме 0 и которая обходится против часовой стрелки. При 0 = ∞ вычетом функции в точке ∞ называется величина

где Γ: = − окружность с центром в начале координат такая, что вне нее нет других особых точек, кроме ∞ , и которая обходится против часовой стрелки.

Вычислять вычеты, исходя из определения, довольно сложно. На практике для их вычисления часто применяются следующие формулы:

1.Пусть ряд Лорана функции в окрестности точки 0 имеет вид: