Применение графов.

Теория графов находит применение, например, в геоинформационных системах (ГИС). Существующие или вновь проектируемые дома, сооружения, кварталы и т. п. рассматриваются как вершины, а соединяющие их дороги, инженерные сети, линии электропередачи и т. п. — как рёбра. Применение различных вычислений, производимых на таком графе, позволяет, например, найти кратчайший объездной путь или ближайший продуктовый магазин, спланировать оптимальный маршрут.

Теория графов содержит большое количество нерешённых проблем и пока не доказанных гипотез.

Основные сферы применения теории графов:

- В химии (для описания структур, путей сложных реакций, правило фаз также может быть интерпретировано как задача теории графов); компьютерная химия — сравнительно молодая область химии, основанная на применении теории графов. Теория графов представляет собой математическую основу хемоинформатики. Теория графов позволяет точно определить число теоретически возможных изомеров у углеводородов и других органических соединений;

- В информатике и программировании (граф-схема алгоритма);

- В коммуникационных и транспортных системах. В частности, для маршрутизации данных в Интернете;

- В экономике;

- В логистике;

- В схемотехнике (топология межсоединений элементов на печатной плате или микросхеме представляет собой граф или гиперграф).

Выделяют особый вид графа, дерево. Дерево — это связный ациклический граф. Связность означает наличие путей между любой парой вершин, ацикличность — отсутствие циклов и то, что между парами вершин имеется только по одному пути. На Рис 1.3 представлено двоичное дерево.

Двоичное дерево — древовидная структура данных, в которой каждый узел имеет не более двух потомков (детей). Как правило, первый называется родительским узлом, а дети называются левым и правым наследниками.

Рис 1.3

Матричное представление графов. Матрица инциденций.

Развитие алгоритмических подходов к анализу свойств графов требует определенных способов описания графов, более пригодных для практических вычислений, в том числе с использованием ЭВМ. Рассмотрим три наиболее распространенных способа представления графов.

Предположим, что все вершины и все ребра неориентированного графа или все вершины и все дуги (включая петли) ориентированного графа пронумерованы начиная с единицы. Граф (неориентированный или ориентированный) может быть представлен в виде матрицы типа , где— число вершин, а— число ребер (или дуг). Для неориентированного графа элементы этой матрицы задаются следующим образом:

Для ориентированного графа элементы матрицы задаются так:

Матрицу типа, определенную указанным образом, называютматрицей инциденций.

Пример получения матрицы инциденций. Для изображенного ниже графа (Рис. 2.1 а) матрицей инциденций будет матрица, представленная на (Рис 2.1 б).

Рис 2.1 а Рис. 2.1 б

Матрица смежности.

Несмотря на то, что представление графа в виде матрицы инциденций играет весьма большую роль в теоретических исследованиях, практически этот способ весьма неэффективен. Прежде всего, в матрице в каждом столбце только два ненулевых элемента, что делает этот способ представления графа неэкономным при большом количестве вершин. Кроме того, решение практических задач с помощью матрицы инциденций весьма трудоемко.

Оценим, например, временные затраты на решение с помощью матрицы инциденций такой простой задачи в ориентированном графе: для данной вершины найти ее "окружение" — множество преемников и множество предшественников вершины, т.е. множество всех вершин, непосредственно достижимых из, и множество всех вершин, из которых она непосредственно достижима.

Для решения этой задачи на матрице инциденций ориентированного графа нужно идти по строке с номером до появления ненулевого элемента (+1 или –1). В случае если обнаружена +1, в соответствующем столбце надо найти строку, в которой записано число –1. Номер строки, в которой стоит это число, дает номер вершины, непосредственно достижимой из данной вершины. Если обнаружена –1, в столбце надо найти строку, в которой записана 1, и получить номер вершины, из которой непосредственно достижима данная вершина. Для получения всего "окружения" надо проделать указанный поиск для всех ненулевых элементов k-й строки. Наиболее трудоемкой процедурой является поиск ненулевого элемента в столбце. Число таких процедур поиска равно степени вершины. Будем в этом случае говорить, что сложность алгоритма анализа окружения вершинысоставляет(порядка).

Можно увидеть, что поиск "окружения" всех вершин займет время порядка произведения числа вершин ориентированного графа на сумму степеней всех вершин, которая, как можно показать, пропорциональна числу дуг ориентированного графа. Таким образом, сложность алгоритма поиска "окружения" составляет , т.е. поиск занимает время порядка произведения числа вершин на число дуг.

Более эффективной матричной структурой, представляющей граф, служит матрица смежности вершин, или булева матрица графа. Это квадратная матрица В порядка n, элементы которой определяют следующим образом:

для неориентированного графа:

для ориентированного графа:

Для изображенного ниже графа (Рис. 2.2 а) матрицей инциденций будет матрица, представленная на (Рис 2.2 б).

Рис 2.2 а

Рис 2.2 б