25.Метод пропорциональных величин.

Метод пропорциональных величин. Согласно методу пропорциональных величин, в самой удаленной от источника ЭДС ветви схемы (исходной ветви) произвольно задаемся некоторым током, например током в 1 А. Далее, продвигаясь к входным зажимам, находим токи в ветвях и напряжения на различных участках схемы. В результате расчета получим значение напряжения U_mn схемы и токов в ветвях, если бы в исходной ветви протекал ток в 1 А.

Так как найденное значение напряжения U_mn в общем случае не равно ЭДС источника, то следует во всех ветвях изменить токи, умножив их на коэффициент, равный отношению ЭДС источника к найденному значению напряжения в начале схемы.

Метод пропорциональных величин, если рассматривать его обособленно от других методов, применим для расчета цепей, состоящих только из последовательно и параллельно соединенных сопротивлений и при наличии в схеме одного источника.

Однако этот метод можно использовать и совместно с другими методами (преобразование треугольника в звезду, метод наложения и т. п.), которые рассмотрены далее.

Пример 12. Найти токи в ветвях схемы рис. 2.11, б методом пропорциональных величин. Сопротивления схемы даны в омах.

Решение. Задаемся током в ветви с сопротивлением 4 Ом, равным 1 А, и подсчитываем токи в остальных ветвях (числовые значения токов обведены на рисунке кружками). Напряжение между точками _m и _n равно 1·4 + 3·3 + 4·3 = 25 В. Так как ЭДС Е = 100 В, все токи следует умножить на коэффициент k = 100/25 = 4.

26. Электрическая мощность для постоянного тока: определение, единица измерения. Баланс мощностей для цепи постоянного тока.

Электри́ческая мо́щность — физическая величина, характеризующая скорость передачи или преобразования электрической энергии.

Мощность постоянного тока

Так как значения силы тока и напряжения постоянны и равны мгновенным значениям в любой момент времени, то мощность можно вычислить по формуле:

.

Для пассивной линейной цепи, в которой соблюдается закон Ома, можно записать:

, где—электрическое сопротивление.

Если цепь содержит источник ЭДС, то отдаваемая им или поглощаемая на нём электрическая мощность равна:

, где— ЭДС.

Если ток внутри ЭДС противонаправлен градиенту потенциала (течёт внутри ЭДС от плюса к минусу), то мощность поглощается источником ЭДС из сети (например, при работе электродвигателяили зарядеаккумулятора), если сонаправлен (течёт внутри ЭДС от минуса к плюсу), то отдаётся источником в сеть (скажем, при работегальванической батареиилигенератора). При учётевнутреннего сопротивленияисточника ЭДС выделяемая на нём мощностьприбавляется к поглощаемой или вычитается из отдаваемой.

Баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи.

а) Постоянный ток

Для любой цепи постоянного тока выполняется соотношение:

(14)

Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи.

Следует указать, что в левой части (14) слагаемые имеют знак “+”, поскольку активная мощность рассеивается на резисторах. В правой части (14) сумма слагаемых больше нуля, но отдельные члены здесь могут иметь знак “-”, что говорит о том, что соответствующие источники работают в режиме потребителей энергии (например, заряд аккумулятора).

27. Переменный электрический ток: определение, виды (классификация по форме сигнала). Достоинства и недостатки, области применения переменного электрического тока. Основные параметры синусоидальных сигналов. Стандарты частоты.

Переме́нный ток (англ. AC = Alternating Current – переменный ток) – это электрический ток, значение которого изменяется во времени.

Виды переменного тока

1) по периодичности изменения:

- периодический (повторяющийся):

- с постоянным периодом (частотой);

- с переменным периодом (частотой);

- непериодический (примеры: ступенчатый сигнал, дельта-импульс);

2) по изменению полярности (направления):

- однополярный:

- положительный;

- отрицательный;

- двуполярный:

- симметричный;

- несимметричный;

3) по форме:

- синусоидальный (гармонический):

- однофазный;

- многофазный (чаще всего трёхфазный);

- прямоугольный (например, однополярный (меандр) или двуполярный прямоугольные импульсы);

- треугольный (например, однополярный или двуполярный; симметричный или асимметричный треугольные импульсы);

- колоколообразные;

и другие.

Переменный ток из постоянного можно получить с помощью инвертора, а постоянный ток из переменного – с помощью выпрямителя.

Преимущества сетей переменного тока

1) напряжение в сетях переменного тока легко преобразуется от одного уровня к другому путём применения трансформатора;

2) асинхронные электродвигатели переменного тока проще и надежнее двигателей постоянного тока (90 % вырабатываемой электроэнергии потребляется асинхронными электродвигателями);

3) потери при передаче на дальние расстояния для переменного тока меньше, чем для постоянного тока.

Электрические цепи однофазного синусоидального тока

Синусоидальный ток и его основные параметры

Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону (рис. 1):

i(t) = I_msin(ωt + ψ). (1)

Рис. 1

Максимальное значение тока I_m называют амплитудой (единица измерения – А (ампер)).

Период Т – это время, за которое со­вершается одно полное колебание (единица измерения – с (секунда)).

Частота f – это число колебаний тока в 1 секунду (единица измерения – Гц (Герц) или (с^–1):

f = 1/T. (2)

Круговая (угловая) частота ω – это число радиан в 1 секунду (угол, на который поворачивается ток в его векторном представлении в течение 1 секунды) (единица измерения – рад/с или рад·с^–1)

ω = 2πf = 2π/T. (3)

За один период ток поворачивается на угол 2π рад, за полпериода – на π рад, за четверть периода – на π/2 рад; за два периода – на 4π рад и т.д.

Стандарты частоты

В странах СНГ и Западной Европе наибольшее распростране­ние получили установки синусоидального тока частотой 50 Гц, при­нятой в энергетике за стандартную. В США стандартной является частота 60 Гц. В некоторых странах, например, в Японии, используются оба стандарта. Частота 16⅔ Гц до сих пор используется в некоторых европейских железнодорожных сетях (Австрия, Германия, Норвегия, Швеция и Швейцария).

В России и СНГ около половины всех железных дорог работает на переменном токе частотой 50 Гц. В текстильной промышленности, авиации, метрополитене и военной технике для снижения веса устройств или с целью повышения частот вращения могут применять частоту 400 Гц (однако, чаще всего – метрополитены электрифицированы по системе постоянного тока), а в морском флоте 500 Гц.

Диапазон частот синусо­идальных токов, применяемых на практике, очень широк: от долей герца (например, в геолого­разведке), до миллиардов герц (в радиотехнике).

28. Усреднённые параметры синусоидальных сигналов: постоянная составляющая, среднее и действующее значение: физический смысл понятий, формулы для вычисления, значения для синусоидального сигнала. Коэффициент амплитуды и коэффициент формы.

Аргумент синуса (ωt + ψ) называют фазой. Фаза характе­ризует состояние колебания (числовое значение угла поворота) в данный момент времени t.

Параметр ψ называется начальной фазой, т.е. фазой в начальный момент времени (при t = 0).

Любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фа­зой.

Источники синусоидальной ЭДС и тока обозначают на электрических схемах так же, как и источники постоянной ЭДС и тока, но строчными буквами е и i (или e(t) и i(t) ).

Также синусоидальная величина может содержать постоянную составляющую I₀ :

i(t) = I₀ + I_msin(ωt + ψ).

Под средним значением синусоидально изменяю­щейся величины понимают её среднее значение за полпериода. Т.к. начальная фаза ψ не влияет на среднее значение, получим:

(4)

Вычислив определенный интеграл в выражении (1), получим:

т. е. среднее значение любой синусоидальной величины составляет 2/π ≈ 0,638 от её амплитудного значения.

Если интеграл брать за весь период, то получим выражение для постоянной составляющей синусоидальной величины:

которая для данного случая будет равна нулю:

Также широко применяют понятие действующего значения синусои­дально изменяющейся величины (его называют также эффектив­ным или среднеквадратичным). Действующее значение тока вычисляется по формуле

(5)

выражение для которого можно получить, применяя формулы понижения степени:

; .

Тогда получим:

следовательно, действующее значение любой синусоидальной величины примерно равно 0,707 от её амплитудного значения.

Можно сопоставить тепловое действие синусоидального тока с тепловым действием постоянного тока, текущего то же время по тому же сопротивлению.

Количество теплоты, выделенное за один период синусоидаль­ным током, равно

Выделенная за то же время постоянным током теплота равна

.

Приравняв их, получим:

или .

Таким образом, действующее значение синусоидального тока I численно равно значению такого постоянного тока, который за вре­мя, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же коли­чество теплоты, что и синусоидальный ток.

Большинство измерительных приборов показывает действую­щее значение измеряемой величины. Действующее значение измеряют приборами электромагнитной, электродина­мической и тепловой систем.

Среднедействующее (среднее действующее) значение = I_m/2.

Коэффи­циент амплитуды k_a – это отношение амплитуды периодически из­меняющейся функции к её действующему значению. Для синусои­дального тока

. (6)

Под коэффициентом формы k_ф понимают отношение действую­щего значения периодически изменяющейся функции к её среднему за полпериода значению. Для синусоидального тока

. (7)

Для несинусоидальных периодических токов k_a ≠ 1,41, k_ф ≠ 1,11. Это откло­нение косвенно свидетельствует о том, насколько несинусоидальный ток отличается от синусоидального.

Генерирование переменного тока

Переменный ток получают путем вращения рамки в магнитном поле. Принцип действия – явление электромагнитной индукции (появление индукционного тока в замкнутом контуре при изменении магнитного потока). В генераторах переменного тока вращается якорь из магнита (электромагнита) с несколькими полюсами (2, 4, 6 и т. д.) (ротор), а с обмоток статора снимается переменное напряжение.

Синусоидальные токи и ЭДС сравнительно низких частот (до нескольких килогерц) получают с помощью синхронных генерато­ров. Синусоидальные токи и ЭДС высоких частот получают с помощью ламповых или полупроводниковых генераторов.

29. Комплексные числа: определение, основные свойства. Алгебраическая и экспоненциальная формы комплексных чисел. Формула Эйлера. Правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел в алгебраической форме. Правила умножения и деления комплексных чисел в экспоненциальной форме. Умножение и деление на j.

На рис. 2 дана комплексная пло­скость, на которой можно изобразить комплексные числа. Комплексное число имеетдействительную(вещественную,реальную) имни­муючасти. По оси абсцисс комплексной плоскости откладывают действительную часть комплексного числа, а по оси ординат – мнимую часть. На оси действительных значений обычно ставят +1, а на оси мнимых значений – +j(–мнимая единица).

Рис. 2

Из курса математики известна формула Эйлера

e ^jα = cos α + j sin α. (8)

Комплексное число e ^jαизображают на комплексной плоскости вектором, численно равным единице и составляющим угол α с осью вещественных значений (осью +1). Угол α отсчитывается против часовой стрелки от оси +1. Модуль функции (длина вектора)

.

Проекция функции e ^jαна ось +1 равнаcos α, а на ось +jравнаsin α. Если вместо функцииe ^jαвзять функциюI_me ^jα, то

I_me ^jα=I_mcos α+j I_msin α.

На комплексной плоскости эта функция, так же как и функция e ^jα, изображается под угломαк оси +1, но длина вектора будет вI_m раз больше.

Угол а в формуле (8) может быть любым. Положим, что α= ωt+ψ, т.е. уголαизменяется прямо пропорционально времени. Тогда

I_me ^{j(ωt + ψ)}=I_mcos(ωt+ψ) +j I_msin(ωt+ψ). (9)

Форма записи комплексного числа в виде I_me ^{j(ωt + ψ)}называетсяэкспоненциальной, а в видеI_mcos(ωt+ψ) +j I_msin(ωt+ψ) –алгебраической.

Слагаемое I_mcos(ωt+ ψ) представляет собой действительную часть (Re) выраженияI_me ^{j(ωt + ψ)}:

I_mcos(ωt + ψ) = Re I_me ^{j(ωt + ψ)}, (10)

а функция I_msin(ωt+ψ) – коэффициент при мнимой части (Im) выраженияI_me ^{j(ωt + ψ)}:

I_msin(ωt + ψ) = Im I_me ^{j(ωt + ψ)}. (10а)

Умножение вектора на j и –j

Пусть есть некоторый вектор Л = Ле^/фа (рис. 3.8). Умножение его на / дает вектор, по модулю равный Л, но повернутый в сторону опережения (против часовой стрелки . по отношению к исходному векторуА на 90°. Ум­ножениеА иа –/ поворачивает векторА на 90° в сторону отстава­ния (по часовой стрелке) также без изменения его модуля. Чтобы_: убедиться в этом, представим векторы / и –/ в показательной форме:⁴

/ = 1. е'^т° = е''⁹⁰⁰; (3.25)

-/ = be-'^90D = e-'⁹⁰\ (3.26)

Тогда

Л/ = y4e^/4pae^/-90° =АФа + (3.27)

- А\ = Ае'ъе -^ = АФа - «П. (3.28)

Из (3.27)следует, что вектор /Л, по модулю равный Л, составляет с осью -f-1 комплексной плоскости угол ф„-Ь 90°, т. е. повернут против часовой стрелки на 90° по отношению к векторуА.

Согласно (3.28) умножение вектора А на – / дает вектор, по модулю равный Л, но повернутый по отношению к нему на 90° по часовой стрелке.

30.Изображение синусоидальных величин в виде век­торов на комплексной плоскости. Комплексная амплитуда. Ком­плекс действующего значения. Сложение и вычитание синусоидальных функций времени на комплексной плоскости. Векторная диаграмма

Таким образом, синусоидально изменяющийся ток i(t) [сравните выражения (1) и (10а)] можно представить какIm I_me ^{j(ωt + ψ)}или, что то же самое, как проекцию вращающегося вектораI_me ^{j(ωt + ψ)}на ось +j(рис. 3).

Рис. 3

Исторически сложилось так, что в радиотехнической литературе за основу обыч­но принимают не синусоиду, а косинусоиду, и потому в этом случае пользуются формулой (10).

С целью единообразия принято на комплексной плоскости изо­бражать векторы синусоидально изменяющихся во времени вели­чин для момента времени ωt =0. При этом вектор

I_me ^{j(ωt + ψ)}=I_me ^jψ = , (11)

где – комплексная величина, модуль которой равенI_m ;ψ– угол, под которым вектор проведен к оси +1 на комплексной плоскости, равный начальной фазе.

Величину называюткомплексной амплитудой токаi. Комп­лексная амплитуда изображает токi на комплексной плоскости для момента времениωt =0. Точка, поставленная над токомили напряжением, означает, что эта величина во времени изменяется синусоидально.

Поясним сказанное. Пусть ток i(t) = 8sin(ωt  + 20°) А. Запишем выражение для комплексной амплитуды этого тока. В данном слу­чаеI_m= 8A,ψ= 20°. Следовательно, = 8e ^j20°А.

И наоборот. Пусть комплек­сная амплитуда тока = 25e ^–j30°А. Запишем выражение для мгновенного значения этого тока. Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значе­нию умножим наe ^jωtи возьмем коэффициент при мнимой части от полученного произведения [см. формулу (10а)]:

i = Im25e ^–j30°e ^jωt = Im25e ^{j(ωt – 30°)} = 25sin(ωt – 30°).

Под комплексом действующего значения токаиликомплексом тока(комплексным током) понимают величину:

. (12)

Пример.Записать выражение комплекса действующего значения тока

= 8e ^j20°А.

Решение. Комплекс действующего значения тока= 8e ^j20°/А = 5,67e ^j20°А.

Сложение и вычитание синусоидальных функций времени на комплексной плоскости. Векторная диаграмма

Положим, что необходимо сложить два тока i₁(t) иi₂(t) одинаковой частоты. Сумма их дает некоторый ток той же частоты:

i(t) =i₁(t) +i₂(t),

i₁(t) = I_1msin(ωt + ψ₁); i₂(t) = I_2msin(ωt + ψ₂); i(t) = I_msin(ωt + ψ).

Требуется найти амплитуду I_m и начальную фазуψтокаi(t). С этой целью токi₁(t), изобразим на комплексной плоскости (рис. 4) векто­ром, а токi₂(t) – вектором. Геометрическая сумма векторов и_т даст комплексную амплитуду суммарного тока. Амплитуда токаI_т определяется длиной суммарно­го вектора, а начальная фазаψ– углом, образованным этим век­тором и осью +1.

Для определения разности двух токов (ЭДС, напряжений) сле­дует на комплексной плоскости произвести не сложение, а вычита­ние соответствующих векторов.

Обратим внимание на то, что если бы векторы , и стали вращаться вокруг начала координат с угловой скоростью ω, то взаимное расположение векторов относительно друг друга оста­лось бы без изменений.

Векторной диаграммой называют совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяю­щиеся функции времениодной и той же частотыи построенных с соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга по фазе. Пример векторной диаграммы дан на рис. 4.

Рис. 4

Мгновенная мощность

Протекание синусоидальных токов по участкам электрической цепи сопровождается потреблением энергии от источников. Скорость поступления энергии характери­зуется мощностью. Под мгновенным значением мощности, или подмгновенной мощностью, понимают произведение мгновенного значения напряженияи(t) на участке цепи на мгновенное значение токаi(t), протекающего по этому участку:

р(t) =u(t)i(t).