integral1
.pdfИМЭИ ИГУ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Гражданцева Е.Ю., Дамешек Л.Ю.
В пособии излагается основной теоретический материал по теме: Неопределенный интеграл. Приводятся примеры, иллюстрирующие применение описанных методов интегрирования.
Пособие предназначено для студентов нематематических специальностей университета.
2010
СОДЕРЖАНИЕ
I.Неопределенный интеграл
1.Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.
1.1.Первообразная и неопределенный интеграл.
1.2.Свойства неопределенного интеграла.
1.3.Таблица основных интегралов.
2.Основные способы интегрирования.
2.1.Интегрирование с использованием основных формул (таб- личное интегрирование)
2.2.Интегрирование при помощи тождественных преобразова- ний подынтегральной функции.
2.3.Интегрирование заменой переменной (или метод подста- новки).
2.4.Интегрирование по частям.
3.Интегрирование дробно-рациональных функций.
3.1.Понятие рациональной дроби.
3.2.Интегрирование простейших рациональных дробей.
4.Интегрирование тригонометрических выражений.
4.1. |
Интегралы |
вида |
|
òsin ax cosbx dx , |
òcos axcosbx dx , |
||||
|
òsin axsin bx dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2. |
Интегралы вида òsin n x cosm x dx , n N, |
m N . |
|||||||
4.3. |
Интегралы вида òR(sin x, cos x)dx , где R(sin x, cos x) явля- |
||||||||
|
ется рациональной функцией аргументов sin x и cos x . |
||||||||
4.4. |
Интегралы вида òR(sin x)cos x dx , где R(sin x) является ра- |
||||||||
|
циональной функцией аргумента sin x . |
|
|||||||
4.5. |
Интегралы вида òR(cos x)sin x dx . |
|
|||||||
4.6. |
Интегралы вида ò |
|
|
dx |
|
|
, где m N , n N . |
||
sin |
m |
xcos |
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
5. Интегрирование простейших иррациональностей. 5.1. Интегралы с линейной иррациональностью. 5.2. Интегралы с квадратичной иррациональностью.
6. Интегралы от дифференциальных биномов.
7. Примеры для самостоятельного решения.
2
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
I.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.ПОНЯТИЕ ПОРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕ-
ДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
1.1. Первообразная и неопределенный интеграл.
Задача определения закона движения материальной точки, если извест- на скорость прямолинейного движения этой точки v = v(t) является обратной
к задаче определения скорости материальной точки при известном законе s = s(t) прямолинейного движения этой материальной точки. Поскольку ско-
рость v = v(t) материальной точки определяется как производная по времени от закона движения: v = s′(t), то естественно законом движения материаль-
ной точки при известной скорости ее движения будет такая функция , для ко- торой s′(t) = v .
Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для
данной функции f (x) на заданном промежутке, если на нем F′(x) = f (t) .
Пример 1.1. F(x) = x3 – |
первообразная для функции f (x) = 3x2 для |
|||||
любых х, так как (x3 )′ = 3x2 . |
|
|||||
Пример 1.2. |
F(x) = |
1 cos3x |
– первообразная для функции f (x) = sin 3x |
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
для любых x . |
|
|
|
|
|
|
Пример 1.3. |
F(x) = |
1 |
|
|
– первообразная для функции |
|
|
|
|
|
|||
|
1− x2 |
|
|
f (x) = arcsin x для любых x [−1;1].
3
Теорема. Если F1 (x) и F2 (x) – первообразные для функции f (x) в не-
котором промежутке X , то найдется такое число С, что F2 (x) − F1 (x) = C
Доказательство. Пусть F1′(x) = f (x) и F2′(x) = f (x) для любых x X .
Так как (F1(x) − F2 (x))′ = f (x) − f (x) = 0 = C′, то F1 (x) − F2 (x) = C .
Замечание. Операция нахождения первообразной неоднозначна и воз- можна с точностью до некоторого постоянного слагаемого.
Определение. Выражение F(x) + C , где F(x) – первообразная функ-
ции f (x) , C – некоторая постоянная, называется неопределенным инте-
гралом от f (x) и обозначается ò f (x)dx ; то есть ò f (x)dx = F(x) + C , если
F′(x) = f (x) , C – некоторая постоянная.
Здесь
ò – знак интеграла, f (x)dx – подынтегральное выражение , f (x) –
подынтегральная функция, x – переменная интегрирования.
Теорема. Если функция f (x) непрерывна на [a,b], то на нем сущест-
вует первообразная для f (x) .
1.2.Свойства неопределенного интеграла.
1.(ò f (x)dx)′ = f (x) ,
2.d (ò f (x)dx)= f (x)dx ,
3.òF ′(x)dx = F(x) + C или òd(F(x))= F(x) + C ,
4. |
ò Af (x)dx = Aò f (x)dx, A R , |
5. |
ò(f (x) + g(x))dx = ò f (x)dx + ò g(x)dx . |
1.3.Таблица основных интегралов.
4
xn+1
2.òxn dx = n +1 + C , n ¹ -1,
3.ò dxx = ln | x | +C , x ¹ 0,
4. òanxdx = |
|
1 |
× |
|
anx |
|
|
+ C , a > 0, a ¹1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
ln a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. òenxdx = |
1 |
× enx + C , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
òsin axdx = - |
1 |
|
× cosax + C , |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
òcosaxdx = |
1 |
|
× sin ax + C , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. ò |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
1 |
× tg ax |
+ C, x ¹ |
π |
+ πn , |
|||||||||||||||||||||||||||||
cos |
2 |
|
ax |
a |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9. |
ò |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= - |
1 |
|
× ctg ax + C, |
x ¹ πn , |
||||||||||||||||||||||||||||||
sin |
2 |
ax |
|
a |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì1 |
× arctg |
x |
|
+ C, |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
10. ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ía |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
2 |
|
+ a |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
× arcctg |
+ C, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï- |
|
a |
a |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
x |
+ C, | x |< a, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïarcsin |
|
|
|||||||||||||||||||||
11. |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
a |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
a2 - x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï- arccos |
+ C, | x |< a, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ò |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=ln | x + |
|
|
x2 ± a |
| +C, | x |> a , |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 ± a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ò |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x - a |
|
|
+ C, | x |¹ a , |
||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
× ln |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
2 |
|
2a |
|
|
x + a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
- a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.òshaxdx = 1a × chax + C ,
15.òchaxdx = 1a × shax + C ,
5
16. ò |
|
dx |
= |
1 |
× thax + C , |
|||||||
ch |
2 |
ax |
a |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
17. ò |
|
dx |
|
|
= - |
1 |
× cthax + C . |
|||||
sh |
2 |
ax |
a |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2.ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.
2.1.Интегрирование с использованием основных формул (табличное интегрирование).
В простейшем случае, когда заданный интеграл представляет одну из формул интегрирования, задача нахождения интеграла сводится к простому применению соответствующей формулы.
Пример. 2.1. Найти интеграл ò3x dx .
1
Решение. Так как 3x = x3 , то, применяя формулу 1 при n = 13 , получим
1 |
|
|
|
1 |
+1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x3 |
|
x3 |
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||
ò3 |
|
dx = òx |
|
dx = |
|
+ C = |
|
+ C = |
3 |
x4 + C . |
|||||||||
x |
3 |
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.2. Найти интеграл ò5x dx .
Решение. По формуле при a = 5, n =1 получаем
ò5x dx = 5x + C . ln5
Пример 2.3. Найти интеграл ò9 +dxx2 .
Решение. Применяя формулу 9 при a = 3 получим
6
ò |
|
|
dx |
= |
|
1 arctg |
x |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
+ x |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 2.4. Найти интеграл ò |
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 - x2 |
|
|
|
|
|||||
Решение. По формуле 10 при a = 2 получаем ò |
|
dx |
= arcsin |
x |
+ C . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 - x2 |
2 |
|
|
Пример 2.5. Найти интеграл ò |
|
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Используя формулу 11 при a = 5 получим |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
ò |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= ln |
x + |
|
x |
2 |
+ 5 |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x2 + 5 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 2.6. Найти интеграл ò |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. По формуле 12 при a = 2 получаем |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ò |
|
|
dx |
1 |
|
|
x - 2 |
|
1 |
|
|
x - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
ln |
|
|
|
+ C = |
|
ln |
|
+ C . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x2 - 4 |
|
2 × 2 |
x + 2 |
4 |
x + 2 |
|
|
|
|
Пример 2.7. Найти интеграл ò dx3x .
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
− |
1 |
|
||||
Решение. Поскольку |
|
= |
× |
|
= |
x |
2 , то, применяя формулу 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3x |
3 |
|
x |
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при n = - 12 и линейные свойства интеграла, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ò |
dx |
|
= ò |
1 |
|
− |
|
1 |
ò x |
− |
|
1 |
|
x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
x |
2 dx = |
2 dx = |
× |
|
+ C = |
|
x + C . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3x |
3 |
3 |
|
3 |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2.Интегрирование при помощи тождественных преобразований подынтегральной функции.
Этот способ заключается в следующем: используя простейшие тожде-
ственные преобразования подынтегральной функции и свойства интегралов прежний интеграл преобразуется в табличный интеграл (или в линейную комбинацию табличных интегралов).
|
|
Пример 2.8. Найти ò(5x4 − 3x2 + 1)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ò(5x4 − 3x2 + 1)dx =ò5x4dx − ò3x2dx +ò1dx =5òx4dx − 3òx2dx +òdx = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 5 × |
x5 |
- 3× |
x3 |
|
+ x + C = x5 - x3 + x + C . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пример 2.9. Найти ò |
x6 - x5 +1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x6 |
- x5 +1 |
æ |
4 |
|
3 |
|
|
1 ö |
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
x5 |
|
|
x4 |
|
1 |
|
||||||
ò |
|
|
|
|
dx = òç x |
|
- x |
|
+ |
|
|
÷dx = |
ò x |
|
dx - ò x |
dx + ò |
|
|
|
dx = |
|
- |
|
|
- |
|
+ C . |
||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
x |
2 |
5 |
|
4 |
x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.10. Найти ò(x − 3x )2 dx .
Решение:
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
æ |
5 |
|
2 |
ö |
ò( x - |
|
|
|
|
x + ( |
|
|
+ x |
|
|||||||
3 |
x) dx = ò(x - 2 x |
3 |
x) |
)dx = òç x - 2x |
6 |
3 |
÷dx = |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
ç |
|
÷ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
5 |
2 |
|
x2 |
|
12 |
11 |
3 |
5 |
|
||||||
= òx dx - 2òx |
6 |
dx + òx |
3 |
dx = |
- |
× x |
6 |
+ |
× x |
3 |
+ C . |
||||
|
11 |
5 |
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.11. Найти ò x2 + 6 dx . x2 + 4
Решение:
|
x2 + 6 |
|
x2 |
+ 4 + 2 |
æ |
|
|
|
2 ö |
|
dx |
|
x |
|
||||||
ò |
|
|
|
dx = ò |
|
|
|
|
dx = òç1 |
+ |
|
|
|
÷dx = òdx + 2ò |
|
|
|
= x + arctg |
|
+ C . |
x |
2 |
+ 4 |
x |
2 |
+ 4 |
x |
2 |
|
x |
2 |
+ 4 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
è |
|
|
+ 4 ø |
|
|
|
2.3.Интегрирование заменой переменной (или метод подстановки).
Теорема. Пусть функция x = ϕ(t) имеет непрерывную производную
ϕ′(t) и обратную функцию t =ψ (x) . Тогда справедливо равенство
ò f (x)dx = ò f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt .
Доказательство. Для доказательства найдем производные обеих час-
тей равенства ò f (x)dx = ò f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt .
Производная левого интеграла равна
(ò f (x)dx)'x = f (x).
Производную правого интеграла найдем по правилу дифференцирова- ния сложной функции с промежуточным аргументом t . Учитывая, что про-
изводная обратной функции равна
|
|
t¢ |
= |
1 |
= |
1 |
|
, где ϕ′(t) ¹ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
xt¢ |
ϕ¢(t) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
¢ |
|
¢ |
¢ |
¢ |
¢ |
1 |
|
= f [ϕ(t)] = f (x). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(ò f ([ϕ(t)]ϕ (t)dt)x |
= (ò f ([ϕ(t)]ϕ (t)dt)t |
× tx = f [ϕ(t)]ϕ (t) |
¢ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
(t) |
|
|
Так |
как |
производные |
левой |
и правой |
|
частей равенства |
|||||||
ò f (x)dx = ò f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt равны, то интегралы ò f (x)dx и |
|
ò f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt оп- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
ределяют одно и то же множество первообразных. Следовательно равенство
ò f (x)dx = ò f [ϕ(t)]ϕ¢(t)dt справедливо.
Замечание. Функцию ϕ(t) на практике выбирают так, чтобы инте-
грал в правой части равенства ò f (x)dx = ò f [ϕ(t)]ϕ¢(t)dt оказался более про-
стым в сравнении с интегралом в левой части этого равенства.
Пример 2.12. Найти интеграл òe xx dx.
Решение. Произведем следующую замену переменной интегрирования:
положим x = t 2 . Тогда |
|
= t , dx = d(t 2 ) = (t 2 )¢ × dt = 2t dt |
и интеграл ò |
e |
|
x |
|
dx |
||||||||
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
преобразуется следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ò |
e |
|
|
|
|
dx = òet 2t dt = ò2et dt = 2òet dt = 2et |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
Так как x = t (это следует из замены переменной), то. Возвращаясь к
переменной x , получим òe xx dx = 2e x + C .
Пример 2.13. Найти интеграл òx + 3 dx .
Решение.
|
|
|
|
ìзамена переменной : x + 3 = t. |
ü |
= ò |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
tdt = |
t 2 |
+ C = |
t t |
+ C = |
|||||||||||||||||||
ò x + 3 dx = í |
ý |
|
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
îтогда x = t - 3, dx = (t - 3)¢dt |
= dtþ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
(x + 3) |
|
+ C . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.14. Найти интеграл ò |
ln3 x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ln3 x |
ìзамена переменной : ln x = t.ü |
|
t3 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
||||||
ò |
|
|
dx = íтогда x = et . dx = et dt. |
ý = ò |
|
|
e |
dt = òt |
|
|
dt = |
|
t |
|
+ C = |
|||||||||||||
|
x |
et |
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
î |
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|