Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ульяновский Государственный Педагогический Университет им. И. Н. Ульянова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

integral1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2015

Размер:

323.22 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Решение. Подынтегральная функция является простейшей рациональ- ной дробью третьего типа, так как степень числителя меньше степени знаме- нателя и в знаменателе стоит квадратный трехчлен не имеющий действи- тельных корней. Поэтому решаем следующим образом:

∙Выделяем полный квадрат в квадратном трехчлене o x2 + 4x + 6 = (x + 2)2 + 2 ;

∙делаем подстановку x + 2 = t , тогда x = t − 2, dx = dt ;

∙находим интеграл

2 − x

dx = ò

2 − (t − 2)

= 4ò

- ò

dt =

+ 4x + 6

+ 2

arctg

−

1 ln(t2

+ 2) + C =

arctg

x +

− 1 ln(x2

+ 4x + 6) + C .

Чтобы найти интеграл ò

Mx + N

dx ( k > 2 ), аналогично выше

+ px + q)

изложенному, делаем замену переменной интегрирования: x + 2p = t .

Тогда получим

p ö

Mx + N

M çt -

+ N

Mt - 2 + N

dx = ò

2 ø

dt = ò

dt =

+ px + q)

öö

çt

+ çq

÷÷

çt

çq

÷÷

øø

Mp ö

= M ò

dt +

ç N

÷ò

p2 ö

2 ø

çt

+ çq

çt

+ çq -

ç N

÷ò

2(1

- k)

öö

k−1

p2 öö

çt

çq -

÷÷

çt

çq -

÷÷

øø

Пример 3.6. Найти интеграл ò

x +1

dx .

- 4x + 5)

Решение. Подынтегральная функция является правильной рациональ- ной дробью, так как степень числителя меньше степени знаменателя, а квад- ратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней, поэтому в квадратном трехчлене выделяем полный квадрат: x2 − 4x + 5 = (x − 2)2 + 1 и

делаем подстановку: x − 2 = t (тогда x = t + 2 , dx = dt ). Таким образом полу-

чим следующую цепочку равенств

x +1

dx = ò

t + 3

= ò

dt + 3ò

− 4x + 5)

+1)

= -

+ 3ò

2(t

+1)

Найдем интеграл

следующим образом:

+1)

t ×t dt

= òt

2+1

- t2

dt = ò

- ò

= arctg t - ò

+1)

(t +1)

Так как

t ×t dt

ïпо частям :

= íu

= t Þ du = dt,

ý =

ò (t 2 +1)2

2(t 2 +1)

ò t 2 +

t dt

ïdv =

Þ v =

.ï

+1)

−

arctg t + C ,

2(t2 +1)

то

+ C .

= arctg t - ç

arctg t ÷

arctg t -

2(t

+1)

2(t

+1)

Следовательно

x +1

1+ 3t

dx = -

arctg t -

+ C =

+ 3ç

÷ =

- 4x

2(t

+1)

2(t

+1)

+1) ø

arctg (x − 2) −

3x − 5

+ C .

2(x2 − 4x + 5)

4.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ.

4.1.Интегралы вида òsin ax cosbx dx , òcos axcosbx dx , òsin axsin bx dx .

Использование тригонометрических формул

sinα cosβ = 12 (sin(α + β ) + sin(α - β )),

cosα cosβ = 12 (cos(α + β ) + cos(α - β)),

sinα sin β = - 12 (cos(α + β ) + cos(α - β ))= 12 (cos(α - β ) - cos(α + β ))

дает возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы. А именно:

А) используя формулу sinα cosβ = 12 (sin(α + β ) + sin(α - β ))

получим sin axcosbx = 12 (sin(a + b)x + sin(a - b)x), следовательно

òsin axcosbxdx = 12 ò(sin(a + b)x + sin(a - b)x)dx =

=1 æç- cos(a + b)x - cos(a - b)x ö÷ + C ;

2 è a + b a - b ø

Б) применяя формулу cosα cosβ = 12 (cos(α + β ) + cos(α - β))

имеем cosaxcosbx =

(cos(a + b)x + cos(a - b)x), следовательно

òcosaxcosbxdx =

ò(cos(a + b)x + cos(a - b)x)dx =

æ sin(a + b)x

sin(a - b)x ö

+ C ;

a - b

è a + b

В) согласно формуле

sinα sin β = -

(cos(α + β ) + cos(α - β ))=

(cos(α - β ) - cos(α + β ))

Получаем, что sin axsin bx =			1	(cos(a - b)x - cos(a + b)x), следовательно
Получаем, что sin axsin bx =			2	(cos(a - b)x - cos(a + b)x), следовательно
			2
òsin axsin bxdx =	1	ò(cos(a - b)x - cos(a + b)x)dx =
òsin axsin bxdx =	2	ò(cos(a - b)x - cos(a + b)x)dx =
	2
				=	1	æ sin(a - b)x	-	sin(a + b)x ö
						ç			÷.
					2	ç		a + b	÷.
					2	è a - b		a + b	ø

Пример 4.1. Найти интеграл òcos8xcos6x dx .

Решение. Чтобы найти этот интеграл воспользуемся формулой

cosα cosβ =

(cos(α + β ) + cos(α - β)).

Тогда

òcos8xcos6xdx =

ò(cos14x + cos2x)dx =

1 æ sin14x

sin 2x

÷ + C =

2 è 14

sin14x + 1 sin 2x + C .

4.2. Интегралы вида òsin n x cosm x dx ,

n N,

m N .

Для нахождении интегралов вида

òsin n x cosm x dx ,

где

n N,

m N ,

целесообразно использовать следующие тригонометрические формулы

sin2 x =

(1 - cos2x), cos2 x =

(1+ cos2x),

sin xcos x =

sin 2x , cos2 x + sin2 x =1.

При решении интегралов вида òsin n x cosm x dx , где n N,

m N , возможны

несколько случаев.

Случай 1 – число

n N является нечетным,

т.е

n = 2k +1,

k N .

В этом

случае sin n x представляем в виде произведения, выделяя множитель sin x , то

есть

sin n x = sin 2k +1 = sin 2k x × sin x = (sin 2 x)k × sin x .

Далее, поскольку из формулы cos2 x + sin2 x =1 следует, что sin 2 x =1 - cos2 x , получим, окончательно,

sin n x = (1 - cos2 x)k × sin x .

Таким образом

òsinn xcosm x dx = òsin 2k+1 xcosm x dx =ò(sin 2 x)k cosm xsin x dx =

= ò(1 - cos2 x)k cosm x sin x dx .

Поскольку sin x dx = d (cos x) , то, вводя новую переменную интегриро-

вания как t = cos x , получим, что sin x dx = −dt , следовательно, после замены

переменной интегрирования

òsin n xcosm x dx = -ò(1 - t 2 )k tm dt .

В интеграле ò(1 - t 2 )k t m dt раскрывая скобки в подынтегральной функции

получим интеграл от степенных функций, интегрирование которых очевид- но.

Случай 2 – число m N является нечетным, т.е. m = 2l + 1, l N . В этом случае поступают аналогично первому случаю, а именно,

cosm x представляем в виде произведения, выделяя множитель cos x , то есть

cosm x = cos2l+1 = cos2l x × cos x = (cos2 x)l × cos x.

Далее, поскольку из формулы cos2 x + sin2 x =1 следует, что cos2 x =1 - sin 2 x , получим, окончательно,

cosm x = (1 - sin 2 x)l × cos x .

Таким образом,

òsinn xcosm x dx = òsin n xcos2l+1 x dx =òsin n x cos2l xcos x dx =

= òsin n x(1 - sin 2 x)l cos x dx.

Поскольку cos x dx = d (sin x) , то, вводя новую переменную интегриро-

вания как t = sin x , получим, что cos x dx = dt , следовательно, после замены

переменной интегрирования

òsinn x cosm x dx = òt n (1 − t2 )l dt .

Получившийся интеграл òt n (1 − t 2 )l	dt легко находится.
Случай 3 – числа n N, m N	являются нечетными одновременно, т.е.
n = 2k +1, k N , m = 2l +1, l N .

В этом можно использовать один из рассмотренных выше случаев.

Пример 4.2. Найти интеграл òsin8 xcos5 x dx .

Решение. Поскольку

cos5 x = cos4 xcos x = (cos2 x)2 cos x = (1 − sin2 x)2 cos x

получим

òsin8 xcos5 x dx = òsin8 x(1 − sin2 x)2 cos x dx .

Производя замену переменной интегрирования как t = sin x (следовательно

cos x dx = dt ) получим
òsin8 xcos5 x dx = òt8 (1 − t 2 )2 dt = ò(t8 − 2t10 + t12 )dt = t9							− 2t11	+ t13	+ C .
				9			11	13
Следовательно, после возврата к переменной x , получим
òsin8 xcos5 xdx = 1 sin9 x −		2	sin11 x +		1	sin13 x + C .
òsin8 xcos5 xdx = 1 sin9 x −			sin11 x +			sin13 x + C .
9	11			13

Случай 4 – числа n N, m N являются четными т.е. n = 2k , k N ,

m = 2l , l N .

Здесь удобно преобразовывать подынтегральную функцию, используя ∙ при n ¹ m формулы

sin2 x = 12 (1 − cos2x), cos2 x = 12 (1+ cos2x),

∙ при n = m формулу

sin xcos x = 12 sin 2x .

Врезультате применения этих формул

∙при n ¹ m интеграл приведется к виду

òsinn x cosm x dx = òsin2k x cos2l x dx = ò(sin 2 x)k (cos2 x)l dx =

æ 1

ök æ 1

öl

= òç

(1- cos2x)÷

(1+ cos2x)÷ dx =

ò(1

- cos2x)

+ cos2x)

dx .

k +l

è 2

Возводя биномы 1 − cos2x , 1 + cos2x в соответствующие степени и раскры-

вая скобки, подынтегральная функция примет вид суммы, члены которой со-

держат четные и нечетные степени cos2x .

Далее, используя линейные свой-

ства неопределенного интеграла, интеграл

òsinn x cosm x dx преобразуется в

сумму рассмотренных выше интегралов;

∙

при n = m интеграл приведется к виду

òsin

x dx = òsin

xdx = ò

ön

òsin

xcos

sin 2x÷ dx =

2xdx .

Далее, поскольку число n = 2k ,

k N ,

получим

òsin

xcos

xdx =

òsin

2xdx

òsin

2xdx =

ò(sin

2x)

dx =

ök

- cos4x)÷

dx =

(1- cos4x)

dx .

Далее, раскрывая в подынтегральной функции скобки и используя линейные свойства интеграла, получим сумму интегралов, каждый из которых будет соответствовать одному из четырех выше рассмотренных случаев.

Пример 4.3. Найти интеграл òsin2 x cos2 x dx .

Решение.

ö2

òsin

xcos

xdx =

ò(sin xcos x)

=òç

sin 2x÷

dx =

òsin

2xdx =

ò(1 - cos4x)dx =

1æ

ç x -

sin 4x÷ + C =

sin 4x + C .

8è

Пример 4.4. Найти интеграл òsin 2 x cos4 x dx .

Решение.

òsin

x cos

xdx =

òsin

x(cos

öæ

dx = òç

- cos2x)÷ç

+ cos2x)÷

dx =

øè

=12 × 14 ò(1 - cos2x)(1+ cos2x)2 dx = 18 ò(1+ cos2x - cos2 2x - cos3 2x)dx =

=18 òdx + 18 òcos2x dx - 18 òcos2 2xdx - 18 òcos3 2xdx .

Так как

∙18 òdx = 18 x + C ;

∙18 òcos2xdx = 161 sin 2x + C ;

∙	1	òcos	2		1	ò	1		1	ò(1+ cos4x)dx =	1	æ	1	ö
				2xdx =				(1+ cos4x)dx =				ç x +		sin 4x÷	+ C =
	8				8		2		16		16		4
												è		ø

=161 x + 641 sin 4x + C ;

∙18 òcos3 2xdx = 18 òcos2 2xcos2xdx = 18 ò(1- sin2 2x)cos2xdx =

=18 ò(cos2x - sin2 2xcos2x)dx = 18 òcos2xdx - 18 òsin2 2xcos2xdx ,

поскольку

òcos2xdx =

sin 2x + C ,

sin

2xcos2xdx = íзамена : t = sin 2x

Þ cos2xdx =

tý

ò 1 t2dt =

× t3

+ C =

sin3

2x + C ,

то

òcos3

2xdx =

sin 2x -

sin3

2x + C .

Следовательно

òsin

æ 1

x cos

xdx =

x +

sin 2x - ç

x +

sin 4x÷

- ç

sin 2x -

sin

2x÷

+ C

è16

= 161 x - 641 sin 4x + 481 sin3 2x + C .

4.3. Интегралы вида òR(sin x, cos x)dx , где R(sin x, cos x) является ра-

циональной функцией аргументов sin x и cos x .

Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных функ-

ций с помощью тригонометрической подстановки tg 2x = t , где x (−π; π ) .

(Тригонометрическую подстановку tg 2x = t принято называть универсальной тригонометрической подстановкой.)

Выразим sin x и cos x через t используя подстановку tg 2x = t . Получим

2tg

1- tg

2 x

1 - t2

sin x =

cos x =

2 x

1+ t2

1 + tg

1+ t2

1 + tg

Из того, что tg

= t следует, что

x = 2arctg t ,

dx =

dt .

1+ t2

Таким образом

1 - t

2 ö

2 dt = òR1(t)dt ,

òR(sin x, cos x) dx = òRç

1 + t

2 ÷

1 + t

Где R1 (t) является рациональной функцией аргумента t .

Пример 4.5. Найти интеграл òsindxx .

Решение.

1+ t2

1+ t

= íподстановка : tg

= tý = ò

dt = ò

dt =

sin x

1 + t

1+ t2

= ln | t |

+C =

íобратная подстановка : t = tg

= ln | tg

+C .

ò t

Пример 4.6. Найти интеграл ò

4sin x + 3cos x + 5

Решение.

1 + t2

= íподстановка : tg

= tý

dt =

4sin x + 3cos x + 5

1- t

4 ×

+ 3×

+ 5

+ t2

1 + t2

1+ t2

= ò

1+ t2

dt =

dt = ò

+ t

2(t

+ 4t

+ 4)

+ 4t +

+ 2)

+ 8t + 8

1+ t2

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.02.20153.09 Mб81Halizev-Teoriya-literatury-.pdf
#
06.02.201536.42 Кб5I.docx
#
07.05.2019321.54 Кб10II семестр umk.doc
#
19.11.201925.65 Кб4INFORMATsIYa_PO_TL.docx
#
07.02.201525.95 Кб26INFORMATsIYa_PO_TL.docx
#
07.02.2015323.22 Кб4integral1.pdf
#
16.08.201972.19 Кб3Introduction II annee.doc
#
06.02.2015120.32 Кб8IRL_19_veka.doc
#
07.02.20151.14 Mб13istoriya-i-filosofiya-estestvoznaniya.pdf
#
22.11.2018459.26 Кб34KIM_MDK_2.doc
#
07.02.2015541.62 Кб10Klod_Levi-Stross_-_Glava_KhI_Struktura_mifov.pdf