Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ульяновский Государственный Педагогический Университет им. И. Н. Ульянова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

integral1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2015

Размер:

323.22 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

ò				1	æ	x
	9 - x	2	dx =				+ x	9 - x	2
					ç9arcsin
				2		3
					è

∙ Тригонометрические подстановки.

ö÷ + C .

Интегралы

квадратичными иррациональностями вида

a2 − x2 ,

a2 + x2 ,

x2 - a2 приводятся интегралам от рациональной относитель-

но

sin x и

cos x

функции с помощью надлежащей тригонометрической

подстановки:

для

иррациональности

a2 - x2

удобна подстановка

x = asin t

(или

x = a cost ),

для

иррациональности

a2 + x2

удобна

подстановка

x = atg t

(или

x = actg t ),

для

иррациональности

x2 − a2

удобна

подстановка

x =

(или

sin t

x =

cost

Пример 5. 9. Найти интеграл ò9 - x2 dx.

Решение.

ò			ì		xü
		2
	9 - x		dx = íx = 3sint	Þ dx = 3cost dt, t = arcsin		ý	=

			î		3þ

= 3ò9 - 9sin2 t cost dt = 9ò1- sin2 t cost dt = 9òcos2 t dt =

=	9	ò(1 + cos2t)dt =					9	t +		9	sin 2t + C =			9	t +			9	sint cost + C =
=	2	ò(1 + cos2t)dt =					2	t +	4		sin 2t + C =			2	t +		2		sint cost + C =
	2						2		4					2			2

			9		9							9	arcsin			x				9	×	x		1 -	x2
		=	9	t +	9	sin t 1- sin			2 t + C =			9				x	+			9		x	×		x2	+ C =
		=	2	t +	2	sin t 1- sin			2 t + C =			2					+		2				×			+ C =
			2		2							2		3					2		3			9
									41

+ x 9 - x

+ C .

ç9arcsin

Пример 5.10. Найти интеграл ò

x2dx

x2 - 4

Решение.

x2dx

2cost

íx

Þ dx = -

dt, t = arcsin

sin t

sin2 t

x2 - 4

× 2cost

cost

= -ò sin

sin

dt = -4ò

dt =

sin3 t

1- sin2 t

sin

- 4

t cost

sin2 t

= -4ò

4ò

2du

= -

=ítg

= u Þ t = 2arctg u, dt =

sin

3 t

1 + u

8sin

cos

2du

(1 + u2 )3

(1 + u2 )2

= -4ò

ç1 +

(1 + u

= -8ò

du = -8ò

du =

1 + u

(1 + u

)

= -8ò

+ C .

+ u ÷du

+ 2ln | u | +

= -8ç

è u

Далее, постепенно возвращаясь к старой переменной интегрирования путем обратных подстановок, получим

x2dx

x + x

2 - 4

- 4 + 2ln

+ C .

x2 - 4

Интегралы от дифференциальных биномов.

Интегралы от дифференциальных биномов òxm (a + bxn ) p dx , где m, n,

– рациональные числа,

выражаются через элементарные функции только в

трех случаях: когда p – целое число; когда	m +1	– целое число, когда
	n

mn+1 + p – целое число. В каждом из этих случаев удобно применять свою подстановку:

1) если p – целое число, то подстановка x = t s , где s

– наименьшее

общее кратное знаменателей дробей m и n ;

2) если

m +1

– целое число, то подстановка a + bxn = t s , где s – наи-

меньшее общее кратное знаменателей дробей m и n ;

m +1

+ p

– целое число, то подстановка

+ b = tr , где r – знаме-

натель дроби p .

Пример 6.1. Найти интеграл ò

1+ x2

Решение. ò

òx−4 (1 + x

2 )

−

2 dx.

1+ x2

Здесь m = −4,

n = 2, p = −

, a =1,

b =1.

Поскольку

m +1 + p =

− 4 +1 −

= −2

– целое число,

то применяем

подстановку вида

+ b = tr , где где r

– знаменатель дроби p .

Так как m = −4,

n = 2,

p = −

a =1,

b =1, r = 2 , то,

окончательно,

получим подстановку

+1= t2 . Следовательно, применяя данную подста-

новку, получим

+1= t2

Þ x2 = (t2 -1)−1,

x = (t2 -1)−2 , dx = -(t

2 -1)−2 t dtï

ïx2

= í

ò x4 1+ x2

1+ x2

1 + x

ït =

- (t2

-1)−

t dt

(t2 -1)2 t

= ò

= -ò

dt = -ò

−2

2 -

−1

(t2 -1)2 1 +

(t2 -1)2

(t2

-1)

(t2 -1)

-1)

= -ò

dt = -ò(t

ç t

-1)dt = -ç

- t ÷ + C

= t -

+ C

-1)2

(t2 -1)

ö3

3x2

- (

(2x2 -1)

1 + x2

1+ x

1+ x2

+ C =

3x3

+ C =

3x3

+ C .

Пример 6.2. Найти интеграл ò

+1)10

−

ö−10

ò x

Решение.

ç1+ x

dx .

x(4

x +1)

Здесь

m = -

n =

p = −10 ,

a = 1,

b =1,

следовательно применим

подстановку вида

x = t s , где s

– наименьшее общее кратное знаменателей

дробей m и n (т.е. s = 4), поскольку

p = −10 – целое число.

Тогда получим следующую цепочку равенств:

íx = t

Þ dx = 4t

dt, t = x4 ý =

dt =

òt2 (t +

1)10

x +

= 4ò

dt = 4ò

t + 1−1

dt = 4ò

− 4ò

(t + 1)

= 4 ×

+ C = -

8 +

9 + C =

8(t + 1)

- 4 × ç

9(t + 1)

9 ÷

+1)

9(t

2(t

= −

+ C .

2(4

+ 1)8

9(4

+ 1)9

7. Примеры для самостоятельного решения.

Читателю предлагается самостоятельно решить следуюшие примеры (смотри: Минорский В.П. Сборник задач по высшей ма-

тематике.: М. 1986.):

1264, 1265, 1267, 1270, 1272, 1273, 1275, 1276, 1281, 1282, 1284, 1286, 1288, 1292, 1297, 1298, 1302, 1305, 1308, 1309, 1311, 1314, 1315, 1322, 1330, 1331, 1332, 1336, 1338, 1339, 1341, 1345, 1346, 1353, 1357, 1358, 1360, 1363, 1368, 1369, 1372, 1371, 1373, 1376, 1379, 1377, 1378, 1380.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.02.20153.09 Mб81Halizev-Teoriya-literatury-.pdf
#
06.02.201536.42 Кб5I.docx
#
07.05.2019321.54 Кб10II семестр umk.doc
#
19.11.201925.65 Кб4INFORMATsIYa_PO_TL.docx
#
07.02.201525.95 Кб26INFORMATsIYa_PO_TL.docx
#
07.02.2015323.22 Кб4integral1.pdf
#
16.08.201972.19 Кб3Introduction II annee.doc
#
06.02.2015120.32 Кб8IRL_19_veka.doc
#
07.02.20151.14 Mб13istoriya-i-filosofiya-estestvoznaniya.pdf
#
22.11.2018459.26 Кб34KIM_MDK_2.doc
#
07.02.2015541.62 Кб10Klod_Levi-Stross_-_Glava_KhI_Struktura_mifov.pdf