§ 3. Абсолютная величина числа

Определение.Абсолютной величиной(илимодулем) действительного числа(обозначается) называется неотрицательное число, удовлетворяющее условиям:

Ясно, что всегда

. (3.1)

Свойства абсолютных величин:

1) ; 2); 3); 4).

Доказательство.1) Если, тов силу (3.1). Если, то. Первое свойство доказано.

2) Имеем , отсюда. Второе свойство доказано.

3) , третье свойство доказано.

Четвертое свойство доказывается так же, как свойство 3).

Замечание. Свойство 1) распространяется на любое число слагаемых, свойство 3) – на любое число сомножителей.

Отметим также, что , т.е.худовлетворяет неравенствутогда и только тогда, когда принадлежит интервалу.

Геометрический смысл модуля действительного числа состоит в том, что равен расстоянию от точкихна числовой прямой до нуля.

§ 4. Понятие числовой последовательности. Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности, их свойства

Определение 1. Если каждому значениюn из множества натуральных чиселставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число, то множество занумерованных действительных чисел называетсячисловой последовательностью .

– члены последовательности,– сокращенная запись последовательности. Например,.

Определение 2. Пусть даны две последовательностии. Последовательностиназываются соответственно суммой, разностью, произведением и частным последовательностейи.

Определение 3. Последовательностьназываетсяограниченной, если множество ее членов ограничено, т.е. существует число, такое, что. Последовательностьназываетсяограниченной сверху (снизу), если существует числоМ, такое, что.

Если последовательность неограниченна, то для любого числа найдется номерnтакой, что. Ясно, что если последовательность ограничена только снизу или только сверху, то она неограниченна. Среди неограниченных последовательностей выберем бесконечно большие последовательности.

Определение 4. Последовательностьназываетсябесконечно большой, если для любогонайдется номерN, такой, чтодля всех.

Всякая бесконечно большая последовательность неограниченна, но не всякая неограниченная последовательность бесконечно большая. Примером этого может служить последовательность .

Определение 5. Последовательностьназываетсябесконечно малой, если для любогонайдется номерN, такой, чтодля всех.

Установим основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пустьи– бесконечно малые последовательности. Возьмемпроизвольно и положим. По определению 5 длянайдутся номераи, такие, чтодля всехидля всех. Положим. Тогда для всехи по определению 5 последовательностьбесконечно малая. Теорема доказана.

Аналогично доказываются

Теорема 2. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

(Можно поручить студентам доказать теоремы 2, 3 и следствие самостоятельно).

Теорема 4. Всякая бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть– бесконечно малая последовательность. Положим. По определению 5 найдется номерN, такой, чтодля всех. Обозначим. Тогдадля всехn. Теорема доказана.

Следствие теорем 3и 4. Произведение двух (любого конечного числа) бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 5. Если все члены бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числус, то.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что. Возьмем. По определению 5 найдется номерN, такой, чтодля всех, т.е.для всех, а этого не может быть, так какдля всехn. Противоречие доказывает утверждение теоремы.

Теорема 6. Если– бесконечно большая последовательность, то– бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Возьмемпроизвольно и положим. Тогда по определению 4 найдется номерN, такой, чтодля всех значений. Отсюдадля всех, т.е.– бесконечно малая последовательность по определению 5. Теорема доказана.

Теорема 7. Если– бесконечно малая последовательность и все члены этой последовательности отличны от нуля, то последовательность– бесконечно большая (доказать самостоятельно).