Понятие сходимости
Пусть имеем дифференциальное уравнение (1)
Ввели сетку аппроксимации производные и дополнительные условия и получили разностную схему (2)
Из-за погрешностей аппроксимации и вычислении ошибок не будет совпадать с истинным решением, - сеточная функция. Нам важно, чтобы сходилось к в узлах. Численное решение сеточной функции сходится к истинному значению, если .
В теории разностных схем доказывается, что если разностная схема аппроксимирует исходную дифференциальную задачу (то есть дифференциальное уравнение и дополнительные условия) и устойчива, то будет сходимость.
Устойчивость означает, что при малом изменении входных данных (коэффициент уравнения, правых частей, начальных и граничных данных) решение изменяется тоже немного.
Математика это
Условие аппроксимации:
то есть эквивалентно.
То есть эквивалентно , разностная схема аппроксимирует исходящую дифференциальную задачу, если при
Методы решения краевых задач
-
Аналитические методы.______ в квадратурах, строгое интегрирующее. Простые случаи.
-
Приближенные методы
Упрощения:
а) отбрасываются некоторые члены;
б) выбираются специальные классы ____ уравнений.
2а) метод возмущений
Решение основное + малая доставка (возмущение)
2б) метод малого параметра
Решение = ряд по малому параметру, содержащемуся в задаче
2в) методы минимизации невязок
Суть метода: Берется система линейных независимых, дифференциальных функций: ; ; – нулевым граничным условиям. Строится решение
y =
Подставляем в исходное дифференциальное уравнение и находится невязка – разность между левой и правой частью – r(x,).
Дальше делают так, чтобы r -> к минимуму.
Способ минимизации определяет метод
а) метод коллокации. Выбираются точки , в которых r = 0. Получается система линейных уравнений для ;
б) метод наименьших квадратов. Минимизируется сумма квадратов невязок. Опять система линейных уравнений для ;
в) метод Бубнова – Галеркина. Использование требования ортогональности базисных функций к невязке r(x,)
Опять система линейных уравнений
Основные понятия.
Многие задачи физики, механика, химии и других отраслей науки и техники при их математической моде сводятся к дифференциальным уравнениям.
Дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории:
-
–я : обыкновенные дифференциальные уравнения, которые содержат только одну независимую переменную;
-
-я : уравнения с частными производными, содержащие несколько независимых переменных.
Полная математическая постановка задачи наряду с дифференциальными уравнениями требует _____ дополнительных условий, так называемых краевых условий.
Если решение ищется в ограниченной области значения независимых переменных, то задаются условия на границах области, которые называются граничными (краевыми). Если одной из независимых переменных является время, то задаются некоторые условия в начальный момент времени – это начальные условия.
Если задаются и граничные и начальные условия, то такие задачи называются нестационарными ( или смешанными) краевыми задачами.
Основные методы решения
Аналитические методы – дают возможность провести непосредственное интегрирование дифференциальных уравнений, то есть решение в квадратурах – в виде формул и путем аналитических преобразований – однако, это возможно только в простых случаях.
___________________ методы
Они используют различные упрощения самих дифференциальных уравнения, например, путем отбрасывания содержащихся в них членов, или выбором некоторых специальных классов искомых функций.
К ним относятся:
Метод возмущений. Решение ищется в виде основного решения + малой добавки (возмущения);
Метод малого параметра: решение ищется в виде ряда по некоторому малому параметру, содержащемуся в данной задаче.
Методы минимизации невязок. Суть их заключается в следующем. Пусть задано дифференциальное уравнение с некоторыми граничными условиями. Выбирается некоторая линейно независимая (базисная) система дифференциальных функций (запись для обыкновенных дифференциальных уравнений) ; – нулевым граничным условиям.
Искомое решение представляется в виде линейной комбинации базисных функций
-
y(x) =
Подставляя это выражение в исходное дифференциальное уравнение, можно найти разность между его левой и правой частями, которая называется невязкой: r(x,). – подбирается так, чтобы невязка была минимальна. Способ минимизации и определяет ту или иную модификацию метода.
а) метод коллокаций: выбираются точки , в которых невязки полагаются = 0. Получается система линейных алгебраических уравнений, из которых определяется и подставляется в решение (1);
б) метод наименьших квадратов. Минимизируется сумма квадратов невязок – также определяется система линейных алгебраических уравнений, из которых находятся .
в) метод конечных разностей(применяется как для общих дифференциальных уравнения, так и для дифференциальных уравнений в частных производных)
Состоит из следующих этапов
-
Построение дискретного аналога непрерывной среды (_______ разностной сетки. Переход к дискретным значениям аргументов и искомой функции). Значения функции в узлах сетки, называются сеточными функциями;
-
Аппроксимация системы дифференциальных уравнений. Производные заменяются разностными аналогами и записываются во внутренних узлах;
-
Аппроксимация начальных или граничных условий. Разностные операторы записываются в граничных узлах. В итоге получается система алгебраических уравнений, число которых пропорционально числу внутренних узлов;
-
Решение получающейся системы алгебраических уравнений и получение дискретных значений искомой функции. Эта система алгебраических уравнений бывает очень высокого порядка, но матрица коэффициентов бывает сильно разреженной;
-
Построение приближающей функции по полученным дискретным значениям искомой функции.