полная методичка

Добавил:

Nik_dstu Negorov1337@gmail.com inst:vech.no_17 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донской Государственный Технический Университет

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

где a,b const , то

f n t eitb f at

Доказательство:

t eit eita itb eitb eita

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.10.2020

Размер:

3.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

D 2 2n

4. С увеличением к – числа степеней свободы 2 - распределение медленно приближается к нормальному.

Распределение Стьюдента ( t – распределение)

Пусть случайные величины 1;				2 ; п		нормально распределены с параметрами 0; , тогда
	t

случайная величина					1	имеет распределение, которое называется t –
					1

		1		n	2
		1		n	2
				i2
				i2
			п i 1

распределением или распределением Стьюдента с n – степенями свободы.

		п 1			п 1
	Г			2
	Г
1		2			2
1		2

1) Р(х) =			1			- четная функция

Г 2

2)По мере увеличения n, распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.пп

Распределение Фишера-Снедекора ( F – распределение).

Пусть 1;

2 ; т и 1;

2 ; п

нормально распределены с параметрами (0; 1). Распределение

случайной величины вида:

т i 1

называется распределением со степенями свободы т и п.

n i 1

х 0

m n

х; т; п

т 1

т п

т 2

п 2

п т

х 0

п 2

D F 2n2 m n 2

m n 2 2 n 4

Закон больших чисел.

При некоторых, достаточно общих, условиях, суммарное поведение большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным. Для практики важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие многих случайных величин приводит к результату почти независящему от случая. Эти условия и составляют суть законов больших чисел.

Теорема Чебышева.

Пусть 1 ; 2 ; попарно независимые случайные величины, имеющие 1 ; 2

и D 1

: D 2 . Пусть также дисперсии всех случайных величин ограниченны некоторой константой,

т.е. c 0 : D i

c , тогда 0 выполняется следующее

соотношение:

lim

Доказательство:

Воспользуемся вторым неравенством Чебышева.

Пусть 1 2

n ;

M 1 M 2 M n

;

D 1 D n

;

Смысл закона больших чисел заключается в том, что при больших n, с вероятностью близкой к 1, среднее арифметическое суммы независимых случайных величин становится близким к const, равной среднему арифметическому математических ожиданий этих случайных величин.

Следствие теоремы Чебышева: Если при условиях теоремы Чебышева 1;

2 ; п имеют

равные между собой математические ожидания М i

i 1, 2,3 , то 0

lim

Следствие теоремы Чебышева обосновывает принцип среднего арифметического, используемого во всех экспериментальных дисциплинах, т.е. если производится серия n – измерений без систематической ошибки, то среднее арифметическое результатов наблюдается при больших n сколько угодно мало отличается от измеряемой величины.

Теорема Бернулли.

Пусть m – число успехов в серии n испытаний в схеме Бернулли с вероятностью p – успехов в каждом испытании. 0 выполняется следующее предельное соотношение:

	m

lim		p	1

	n
n

1 число успехов в первом эксперименте.

2	во втором.	1 2 п
		Число успехов в данной серии
		испытаний


n
1 n p
Сходимость величин n x		lim Xn x ;
		n

100

Центральная предельная теорема.

Если случайные величины 1;

2 ; п - независимы, нормально распределены с конечными

математическими ожиданиями

a , конечные дисперсии D

2 , тогда

выполняется:

1 n na

lim

t 2

2П

Теорема Ляпунова.

Если 1;

2 ; п - независимы,

имеют конечные математические ожидания i

ai ,

конечные дисперсии D

3 Ck3 ;

3 Ck3

k 1

				n
				n
	1	2
	1	n ak			0
				k 1
выполняется следующее соотношение: lim				k 1

			n
n		2
			k
			k 1

Как следует из теоремы Ляпунова: совокупное действие случайных величин различной природы оказывается близким к нормальному распределению.

Потоки событий.

Поток событий – последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Свойства потоков:

1. Стационарность потока.

Поток называется стационарным, если вероятность появления ровно m- событий на промежутке времени длительностью зависит только m и , и не зависит от момента времени, в который этот временной промежуток начался.

2. Отсутствие последствия.

Говорят, что поток обладает свойством отсутствия последствия, если вероятность появления m- событий на любом промежутке времени не зависит от того, появились или нет события в момент времени непосредственно предшествующий началу рассматриваемого промежутка.

Предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в будущем.

Если поток обладает таким свойством, то выполняется взаимная независимость числа событий в непересекающихся промежутках времени.

3. Ординарность потока.

Говорят, что поток обладает свойством ординарности, если за бесконечно малые промежутки времени может произойти не более одного события в потоке, т.е. появление 2-х и более событий практически невозможно.

4. Простейший (Пуассоновский) поток.

Простейшим потоком называется поток, который обладает всеми тремя свойствами.

Теорема: Если поток представляет собой сумму большого числа независимых стационарных потоков, влияние каждого на сумму ничтожно мало, то ординарный поток при условии его ординарности

является простейшим.

Определение: Интенсивность потока называется среднее число событий происходящих за единицу времени.

- интенсивность const m – событий за промежуток времени

m	m		;
m	e	;	;
	m!

Замена Простейший поток должен обладать 3-мя свойствами:

1.Стационарность.

2.Отсутствие последствия.

3.Ординарность.

	0	e		~ 1				e x 1 x		x2		x3
	0	e		~ 1				e x 1 x
									2!			3!
									2!			3!
	1	e			~


							1 1		2		3
m 2 1 e			e			~ 2	1 1
								2			6
								2			6
		2			3		2	о 2
		2			3			о 2
1							2
1
		2		6
		2		6

Пример: На телефонную станцию поступают 2 вызова в 1 минуту. Какова вероятность, что за 5 минут наступит 12 звонков.

Дано:

2	12	1012	е 10	0.09

	5	12!

т125 12 ?

Введение в теорию цепей Маркова.

Цепь Маркова – последовательность испытаний, в каждом из которых, появляется и при том только один из несовместных событий 1 ; 2 ; к . При этом условная вероятность i j S того, что в

испытании с номером S наступит событие j при условии, что в S-1 испытании было i не зависит от результатов предшествующих испытаний.

События 1 ; 2 ; к называются состояниями системы, а сами испытания называются изменениями состояний системы.

Если изменение состояний происходит в фиксированные моменты времени, то такая цепь называется цепью Маркова с дискретными временами.

Если изменение состояний происходит в произвольные моменты времени, то цепь Маркова называют цепью с непрерывным временем.

Цепь Маркова называется однородной, если условная вероятность i j S перехода из состояния i

в состояние j не зависит от номера испытания S.

№1	№2	№3	№S-1	№S	№S+1
1	1	1	1	1
2	2	2	2	2


к	к	к	к	к

Для однородных цепей Маркова i j называются переходными вероятностями.

1 i j
		p11	p12	p1k
		p11	p12	p1k
1
		pk1	pk 2	pkk
k
Pi j		1	i 1; k;
j 1
					Равенство Маркова.
i j	п - вероятность перехода из состояния i в ; за n испытаний.
27	3

n-m

i j n i1 m 1 j n m i k m k j n m

i j n i r m r j n m

1)n = 2; m=1;

			k	1 rj 1
i j 2 ir				1 rj 1
			r 1
				k
2 i j 2 i r r j
				r 1
					2	2
					2	1
2) n = 3;			m = 1;
			k	r j 2
i j 3 i r				r j 2
			r 1
					3	3
					3	1
3)	n	n
	n		1

Пример:

1				0.6
			0.4
			0.3	0.7
		2			0.66
				0.34
	2		1	0.33	0.67

Производные функции.

Определение: Дискретная случайная величина называется целочисленной, если она принимает только целые неотрицательные значения 0; 1; 2; n n с соответствующими вероятностями.

Определение: Производящей функцией целочисленной случайной величины называется функция вида: S s

	0	1
	0	1

S p0 p1S p2 S 2 pn S n

f k 0

n 0

f S

S k - разложение функции в ряд Макларена

k 0

f k 0

S pn S n

S k

n 0

k 0

;

n 0; 1; 2;

1. Биноминальное распределение.

Количество испытаний n с вероятностью успеха p, неуспеха q.

0; 1; n

p	m	m C m pm qn m
	m			n
		n			n
S Cnm p m q n m S m Cnm p S m q n m pS q n							Бином Ньютона
		m 0			m 0
						2. Распределение Пуассона.
p		m		m	e
p	m	m		m!	e
	m


S e S m
		m 0
				m
S e			S		e e S	e S 1
S e					e e S	e S 1
		m 0		m!
		m 0

3. Геометрическое распределение.

pm m pqm 1

			pS
S pqm1 S m pS qS m1

			qS
m1	m1	1

Факториальным моментом порядка к случайной величины называется:

k 1 k 1

0 1 1

2 2 2

		1
				1 1 2
D 2				1 1 2

				Теорема:
	k k		1

k 1 k 1 n n 1 n k 1

n k

S pn S n

k S

n n 1 n k 1 S n k pn

n k

k 1

1 1 1

1. Биноминальное распределение.

n 1

S pS q

np pS q

S n n 1 p

n 2

ps q

n n 1 p 2 np n2 p 2

np np2

np 1 p npq

2. Распределение Пуассона.

s e

S 1

D 2 2

3. Геометрическое распределение.

p 1 qS qpS

1 q

2 pq

1 qS 2

2q p 1

p 2

Теорема о мультипликативном свойстве производящих функций.

1; 2 ; n - независимые целочисленные случайные величины, имеющие производящие функции

	S ;	S		S , то		S		n
	S ;	S		S , то		S		S S
1	2	n			1			n
								k 1
Доказательство:
S		S 1 n S 1 S 2					S n s 1 s n		независимы
1	n
	n	n		S
s k			k	S
k 1		k 1

Пример: 1 - биноминальное распределение случайной величины

1 S pS q n1

1 2

1 p 2 p pS q m

Характеристические функции.

Пусть и	действительные случайные величины с конечными ;	, тогда случайная
величина	i называется комплексной случайной величиной, имеющей математическое
ожидание i .

Все основные свойства математических ожиданий переносятся и на случай комплексных случайных величин.

	a ib			a2 b2

Определение: Характеристической функцией случайной величины называется функция

f t eit

t R

f t cos t i sin t

Если известна функция распределения f x или

p x , то явная запись будет

f t eitx df x eitx p x dx

В случае дискретных случайных величин f t eitxk xk

k 1

Свойства характеристической функции:

f t

f 0 1

eit

1 1

eit cos t i sin t eit f 0 1 1

2)Характеристическая функция равномерно непрерывна по аргументу t

3)Если случайные величины и связаны минимальным соотношением a b ,

4) f t f t

eit

5) Мультипликативное свойство характеристической функции.

Если случайные величины ;

;

- независимы, то

k 1

Доказательство:

t eit 1 n eit1 eit2

eitn eit1 eit2 f

k 1

6) Пусть m

k ;

k 1; n, тогда характеристическая функция дифференцируема до

порядка n включительно, выполняется следующее соотношение

f k

0 i k m

;

k 1; n

где Rn o t n

f t

mk Rn

t ,

формула Макларена

k 0

Доказательство:

t eit

f k t i k eit

f k 0 i k

k i k m

7)Если дискретная целочисленная случайная величина, то ее характеристическая и производящая

функции связанны следующей формулой: f t eit

f k t eit

Примеры характеристических функций.

1. Биноминальное распределение. n – экспериментов, р – вероятность успеха.

S pS q n

f t peit q n

2. Распределение Пуассона.

S e S 1

f t e eit 1

3. Геометрическое распределение.

1 qS

peit

qeit

4. c;

c const;

: p 1

t eitc

5. Нормальное распределение.

а) Нормальное распределение (0; 1)

2П

itx

dx f t

itx

e e

i xe

2П

it x dx

d itx

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
02.10.202015.56 Кб27Programma_na_kolokvium.docx
#
02.10.2020195.07 Кб29Teor_ver_2020__kopia.doc
#
02.10.2020257.02 Кб29Teor_ver_2020__VPI11-12.doc
#
02.10.2020653.31 Кб15Vremyanka_VKB21-23.doc
#
02.10.20202.29 Mб31Задачник.docx
#
02.10.20203.19 Mб35полная методичка.pdf