Добавил:

Nik_dstu Negorov1337@gmail.com inst:vech.no_17 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донской Государственный Технический Университет

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

полная методичка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.10.2020

Размер:

3.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

-1

-2

-3

Корреляционный момент (корреляция) двух случайных величин

Рассматриваются случайные величины ξ и h для которых задан двумерный закон распределения, если они дискретные или плотности совместного распределения, если непрерывны, тогда

корреляционный момент случайных величин ξ и h.

C h M M h M h

C h	n		m	xi M y j M h pij
C h		i 1	j 1
			x M y M h p x; y x y

Свойства корреляционного момента

1.C D , Chh Dh где D – дисперсия

2.C h M h M M h

C h M M h M h M h M h h M M M h M h 2 M M h M M h

3.Если случайные величины ξ и h независимы, то C h 0

4.h C h h

h h ;

D M M 2 M h h M h h M 2 M (h M h ) h ( M ) 2

M 2 (h M

(h M

) ( M

) 2

( M

)2 2

2 2 2

C h

Коэффициент корреляции и его свойства

Коэффициент корреляции есть отношение корреляционного момента к произведению стандартных отклонений случайных величин

r h C h

Если r h 0 , то случайные величины ξ и h называются некоррелированными Если r h 0 , то случайные величины ξ и h называются коррелированными

Свойства

1.1 r h 1

2.Если случайные величины ξ и h независимые, то они некоррелированные ( r h 0 )

Если случайные величины ξ и h коррелированные ( r h 0 ), то эти случайные величины зависимы

Обратные утверждения неверны !

3.Нормированной случайной величиной называется отношение отклонения случайной величины от ее математического ожидания к стандартному отклонению

1 M

				M		1		M
M		1 M							M	0
M		1 M							M	0



			M		1		D M				D
D	1	D											1
D	1	D				2						2	1
						2						2

Коэффициент корреляции двух случайных величин ξ и h равен корреляционному моменту их нормированных случайных величин

r h

C 1h1

M M

h M

M 1 1

C 1 1

4. Если случайные величины ξ и h линейно-зависимые, то модуль коэффициента корреляции r h 1

h a b где a,b произвольные коэффициенты. b 0

1. M h M a b a b M

Dh M h M h 2 M a b a b M 2 b2 M M 2 b2 D

h b

2.C h M M h M h M M b M b D

3. r h	C h	b		2	b	1
	h

			b		b

Если линейная зависимость между ξ и h носит возрастающий характер, тогда коэффициент корреляции равен 1. Если линейная зависимость между ξ и h носит убывающмй характер, тогда коэффициент корреляции равен -1.

5. Коэффициент корреляции является мерой линейной зависимости двух случайных величин

6. Степень линейной зависимости

rh	0 ÷ 0.3 0.4 ÷ 0.7 0.8 ÷ 1

С.Л.З. Слабая Средняя Сильная

Уравнения Регрессии

M h \| x \|	y (x)
M \| h y \|	x ( y)

Кривые, которые задаются двумя уравнениями, называются кривыми регрессии. Ограничимся

случаем, когда кривые регрессии являются прямыми (прямые регрессии).

y A x M B

M y M h M A M M B

M h A M M B

B M h

h M h

M M A M B B A M M

rh h

y M h rh h x Mz

y M	h	r	h x M		уравнение регрессии случайной величины h на случайную величину ξ
	h	h	z
			z
x M		rh		y M h
					уравнение регрессии случайной величины ξ на случайную величину h

			h
			h

Характеристики

1.В общем, для произведения случайной величины ξ и h прямые регрессии не совпадают

2.Если модуль коэффициента корреляции равен 1, т.е. ξ и h линейно-зависимы, то оба уравнения регрессии совпадают между собой и с самим уравнением линейной зависимости ξ и h

3.Обе прямые регрессии проходят через точку M ; M h т.е. пересекаются в этой точке

4.Прямая регрессии случайной величины h на случайную величину ξ имеет следующий смысл, если случайные величины ξ и h коррелированны ( rh 0 ), то правая часть уравнения

регрессии обеспечивает наилучшее приближение случайной величины h к случайной функции вида С1 С2 в смысле метода наименьших квадратов

1 r

min M h C C

M h M

x M

1 2

Неравенство Чебышева

Если случайная величина ξ имеет конечную дисперсию, то для 0 имеет место следующее соотношение

D M M

2 n

xi M 2

i 1

D 2 P

2 n	pi 2 P	M
2 n	pi 2 P	M
i 1

Второе неравенство Чебышева показывает, при малой дисперсии с вероятностью близкой к 1 случайные величины локализуются около своего математического ожидания

Вероятность отклонения случайной величины от их математического ожидания. Правило σ.

	P		1
		M
ε		M		2
ε				2

σP M 0

2σ	P	M		2 0.75
2σ

3σ	P		M	3 0.81
3σ

4σ	P M	4 0.9875

Отклонение от математического ожидания случайной величины, распределенной по биномиальному закону

b np		a np
P a b Ф		Ф


	npq		npq

np M

npq

a M

b M

P M M

2 Ф

Пусть 3

3 2 Ф 3 0.9973

Нормально-распределенная случайная величина.

Гауссово распределение

Нормальным распределением с параметрами а; называется распределение случайной величины ξ, которая имеет следующую плотность распределение вероятности

	p x	1	e	x a 2
		1		2 2
1.				2 2
		2

2.Нормированное (стандартное) распределение называется нормальное распределение с параметрами (0;1)

p x	1		х2
	1	e	2


	2
	2

	1					x 2
	1							x 1
			e		2
					2
		2
		2
			1					e				t 2
F (x)			1									2	t
												2
				2
				2
b)
							1						x 2
M				x			1				e			2 x 0


									2
									2
							1							x 2
D			x2				1					e		2 x 1


										2
										2

с) Вероятность попадания нормированной случайной величины на заданный отрезок

P a b F (b) F (a) Ф b Ф a

d) Отклонение нормированной случайной величины от её математического ожидания

P 2 Ф

εP 2 Ф

1P 1 0.6826

2P 2 0.9544

3P 3 0.9973

4P 4 0.9994

Нормальное распределение с параметрами (а;σ)

Пусть а R	0
Плотность распределения p x		1	e	x a 2	и F x	1	e	t a 2
		1		2 2		1		2 2	t
								2 2
						2
		2				2

Кривая Гаусса

Основные свойства кривой Гаусса

1. x R	0	y	1


			2
			2

2.x a ось симметрии

3.lim y(x) 0 при x

4.	x a точка max y a	1


		2
		2
5.	x a точки перегиба	y a	1


			2 e
			2 e

σ = 3 σ = 1 σ = 8

При увеличении σ уменьшается амплитуда, и график

становится более пологим

2. Основные характеристики нормального распределения

x a 2

x a

2 2

x t a

x t

t 2

t a

2 t

x a

x a 2

	2

	t a e	t 2
		2 t


2
2

3. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на заданный отрезок

x a 2

x a

P x1 x2

2 2

x t a

x t

x2 a

t 2

x a

2 t Ф

x1 a

		x2 a		t 2
	x1 a		e	2	t


2
2

4. Отклонение нормально распределенной случайной величины от её математического ожидания

P a a Ф

0.6826

0.9544

0.9973

0.9994

Правило трех сигм:

Если случайная величина распределена нормально, то считается практически невозможным ее

отклонение от М больше, чем на 3 .

Более того, на практике, если некоторая случайная величина отклоняется от своего среднего

значения меньше чем на 3 , то есть основание предполагать, что эта случайная величина

нормально распределенная.

Расчет доверительных интервалов

а а 2

Считается, что параметры нормального распределения а; известны и заданна вероятность	~
	р
отклонения случайной величины от М , в которую случайная величина попадает с вероятность	~
	р .

Пример: : 20 :10

Найти интервал, попадание в который, осуществляется с вероятностью ~ =0.95

0.95 = 2 10

= 0.475

= 1.96

19.6

Некоторые важнейшие распределения связанные с нормальным.

2 - распределение.

- случайная величина, нормально распределенная с параметрами (0: 1), тогда случайная

величина 2 имеет следующую плотность распределения:

х 0

2Пх

Пусть, 1;

2 ; п - совокупность n независимых нормально распределенных случайных величин

с параметрами (0;1), тогда случайная величина 2 = 2

; 2

2 обладает распределением,

которое принято называть 2

- распределением с n степенями свободы.

Свойства 2 - распределния:

1. Плотность 2

- распределения.

х 0

х =

х 0

2 х 2

2 2 Г

Гамма функция.

Г х

t x 1e t dt

Г п 1 п!

Плотность 2 - распределения исключительно зависит от степеней свободы к.

х к 1 и к 2 являются монотонно убывающими. При к = 3 : х = к-2 есть локальный максимум.

3. М 2 п

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
02.10.202015.56 Кб27Programma_na_kolokvium.docx
#
02.10.2020195.07 Кб29Teor_ver_2020__kopia.doc
#
02.10.2020257.02 Кб29Teor_ver_2020__VPI11-12.doc
#
02.10.2020653.31 Кб15Vremyanka_VKB21-23.doc
#
02.10.20202.29 Mб31Задачник.docx
#
02.10.20203.19 Mб35полная методичка.pdf