полная методичка

Добавил:

Nik_dstu Negorov1337@gmail.com inst:vech.no_17 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донской Государственный Технический Университет

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

a 2 2 ab b 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.10.2020

Размер:

3.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Доказательство:

y x , т.к.

, то функция выпукла вниз, значит применимо неравенство Йенсена

M ;

9. Неравенство Коши-Буняковского Для любых двух случайных величин ξ и η

M ( )

2 M 2

x y

M ( 2 ) 0

M (x 2 2

2xy y 2 2 ) x 2 M ( 2 ) 2xyM ( ) y 2 M ( 2 ) 0

ax2 bx c 0; D 0

4 y 2 M 2 ( ) 4 y 2 M ( 2 )M ( 2 ) 0

: 4 y 2 ; y 0

M ( ) 2 M ( 2 )M ( 2 )

10. Неравенство Гёльдера

p>1,q>1

p ; M

тогда M ( )

M ( )

11. Неравенство Минковского

Если M

p ; M

p , р>1

M ( )

Задача: По мишени делают 3 выстрела. Результаты этих выстрелов не зависят друг от друга. Вероятность попадания при первом p1 0,4 , при втором p2 0,3 , при третьем p3 0,6 .

Рассматривается случайная величина, характеризующая число попаданий в мишень. Найти её мат. ожидание.

ξ	0	1	2	3	A1,2,3	попадание при 1,2,3 выстреле соответственно.
p	0,168	0,436	0,324	0,072
p	0,168	0,436	0,324	0,072	а) B	A1 A2 A3
					а) B	A1 A2 A3

б) C A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 в) D A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3

г) E A1 A2 A3

2.1 - число попаданий при первом выстреле

2 - число попаданий при втором выстреле

3 - число попаданий при третьем выстреле

1 2 3

M ( ) M ( 1 ) M ( 2 ) M ( 3 ) 1,3

Функции случайного аргумента и их мат. ожидание.

Определение: Если любому значению случайной величины ξ соответствует и при этом единственное значение случайной величины η, то говорят, что задана функция f ( ) случайного аргумента ξ.

1. ξ – дискретная случайная величина.

Если в каких-то колонках будут одинаковые значения, они должны быть просуммированы. 2. ξ – непрерывная случайная величина

Рассматривается функция ( ) случайного аргумента ξ. При этом неслучайная функция

y (x) дифференцируема, монотонна и имеет обратную x 1 ( y) . Пусть также случайная величина ξ имеет плотность распределения p (x) .

P ( y) P ( 1 ( y)) 1 ( y)

3. M yk pk

k 1

M M ( ) (xk ) pk

k 1

4. M M ( ) (x) p(x)dx

Дисперсия

От лат. рассеяние, разброс.

Определение: Дисперсией случайной величины ξ называется мат. ожидание квадрата отклонения случайной величины от её мат. ожидания.

D M ( M )2

	n	2
D	(xk M )	pk - для дискретных
	k 1

D	(x M )2 p(x)dx - для непрерывных

Определение: Арифметический квадратный корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением (стандартным).

Дисперсия характеризует степень разброса случайной величины около своего среднего значения. Пример 1:

ξ	1	3	5
p	0,1	0,4	0,5
M	-2,8 -0,8 1,2
M 2	7,84	0,64	1,44

M 12

		1
D	(x		)2	p(x)dx
		2

M		3,8
D		7,84 0,1 0,64 0,4 1,44 0,5 1,76
		1,31

Пример 2: Равномерное распределение на отрезке [0;1]

1;0 x 1 p(x)

0; x 0; x 1

							1	3
1					x				1
1					x
(x	1		2				2			1	1		1
	1	)	2	dx			2			1	1		1
	2	)		dx		3				24	24	12
0	2					3			0	24	24	12
0

Свойства дисперсии

1.Не отрицательность

D 0

D 0 c

2. Константа - множитель выносится из под знака дисперсии в квадрате.

D c c2 D

M c Mc 2 c2 M M 2 c2 D

3. D M 2 M 2

D M M 2 M 2 2 M M 2 M 2 2 M 2 M 2 M 2 M 2

4. Если случайные величины ξ и h независимые, то дисперсия суммы этих случайных величин

равна сумме дисперсий

D h D D h

D h M h 2 M h 2 M 2 2 h h2 M 2 2 M Mh Mh 2M 2 Mh 2 2 M Mh M 2 2 M Mh Mh 2 D D h

4’.

D c D где с = const

D n

D 2

n 1

к 1

k 1

l k 1

k l

к 1 k

k 1

k 1 k

k 1

n 1

2 2

n 1

k 1

l k 1

k 1

l k 1

k 1

n 1

D 2

k 1

l k 1

к 1

k 1

l k 1

Математическое ожидание и дисперсия важнейших распределений

Равномерное распределение на последовательности {1,2,3,…,N}

ξ	1	2	3	…	N
P	1 N	1 N	1 N	…	1 N
	1 N	1 N	1 N		1 N

1 2 3 ... N

N N 1

N 1

2 N

D M

2 M

12 22

32 ... N 2 N 1 2

N N 1 2 N 1

N 1 2

6 N

N 1 N 1

N 2 1

Биномиальное распределение

P m Cnm pmqn m

…

p q

n 1

n n 1

p2 qn2

…

Математическое ожидание

n n 1

n 1

n p qn1

qn2

... n pn np qn1

p qn2

... pn1

n p q p n1 n p

2.Введем серию случайных величин 1; 2 ; 3;...; n ; число успехов в 1, 2, 3,…, n испытании

1 2

... n

M m

n M

k 1

3. Дисперсия

D D

D n D

n p q

k 1

M 12

2 p p2 p 1 p p q

Распределение Пуассона

P m m e

…

e a

…

1! e

2! e a

m 1

e e

m 1

m 1 m 1 !

M 2

m 1 m

e e m 1 m

m 1

1 !

m 1

a e

e e

m 1

1 !

D M 2 M 2 2 2

Геометрическое распределение

P m p qm 1

…

p∙q

p∙q²

…

p q q

m p qm 1 p

m qm 1 p

p qm1 p

qm1 p

m qm 1

m qm1 1

1 q 2 2 q

1 q2

1 q

m q

p q

1 q

D M 2

1 q

Непрерывное равномерное распределение на отрезке

a x b

b a

p x

x a

x b

x p(x) x

b a

M 2

x 2 p(x) x

x 2

b a

	x 2	b			a b
	2		a		2


							a 2 ab b 2
	1			x3		b

b a				3			3

						a

Показательное распределение

	e x x 0

p x
		0 x 0
		0 x 0

				e x

M		x e x x	0	x

\|	x	x e	x	\|		x
	x	x e			x xe
	0

			x				x
0	0	e			0	e		x
0		e		x		e		x

e x		1	0 1	1
	0		0 1

λ – величина обратная математическому ожиданию

M 2								e x

			x 2	e x x		0	x 2


D	2		1		1
D	2	2			2
	2	2			2

\|	2		x
	2	e	x
x x		e

				x		2
		0
0	2		x e		x
						2

Условные законы распределения

y1 y2	…	ym

x1	P11 P12 … P1m P
	1

x2	P21 P22 … P2m P
	2

… … … … … …

Pn1 Pn2 … Pnm
xn	Pn

Пусть в результате некоторого опыта случайная величина h

принимает одно из своих возможных значений yi , а случайная

величина ξ может принять одно из своих значений {Х1, Х2, Х3,…, Хn}. Условная вероятность того, что случайная величина ξ примет значение Хi , при условии, что случайная величина h приняла

значение yi равна P x y j и называется условным законом

распределения случайной величины ξ

Другими словами условным законом распределения случайной величины ξ при значение условным законом распределения

случайной величины h= yi называется совокупность условных вероятностей P x1 ; y j ; P x2 ; y j ;...; P xn ; y j

P xi | y j Pij

Pjh

Аналогичным образом вводится условное распределение случайной величины h при фиксированном значении хi

P y1 ; x j ; P y2 ; x j ;...; P yn ; x j

P y j ; xi Pij ` P i

P A B P( A) P(B | A)

В случае непрерывных случайных величин ξ и h вводится понятие условной плотности распределения p x | y случайной величины

h	h	…	h	ξ при заданном значении случайной величины h y
P1	P2	…	Pm	ξ при заданном значении случайной величины h y
P1	P2		Pm
				p x \| y	p x; y
				p x \| y	p( y)
					p( y)
				p y \| x	p x; y
				p y \| x	p(x)
					p(x)

Свойства условных вероятностей и плотностей вероятностей

1.	Не отрицательность
	P xi		\| y j	0;
	P xi		\| y j	0;
2.	Нормированность
	n		P xi \| y j 1
	i 1		P y j \| xi 1
	m		P y j \| xi 1
		j 1
		p x \| y x 1

		p y \| x y 1

p x | y 0; p x | y 0;

j1;2;3;...; m i 1;2;3;...; n

Условное математическое ожидание

Условным математическим ожиданием случайной величины h при некотором фиксированном значении случайной величины ξ = х называется

В случае дискретных случайных величин

x m y j | xM h | j 1 y j P

В случае дискретных случайных величин
M h \| x y р y \| x х

M h \| x x	,	где	х	–	называется	функцией	регрессии	случайной	величины	h	на
случайную величину ξ
M \| h y y	,	где	y	–	называется	функцией	регрессии	случайной	величины	ξ	на

случайную величину h

Пример

h				P xi \| h 2
	-2	4		P 1 \| h 2	0.2		0.4
	-2	4		P 1 \| h 2	0.5		0.4
					0.5
ξ					0.3
ξ				P 3 \| h 2			0.6
				P 3 \| h 2		0.5	0.6
				M \| h 2 1 0.4 3 0.6 2.2
1	0.2	0.4	0.6

P xi | h 4


3	0.3	0.1	0.4	P 1 \| h 4		0.4		0.8
				P 1 \| h 4		0.5		0.8
				P 3 \| h 4			0.1	0.2
							0.1
							0.5
							0.5
				M \| h 4 1 0.8 3 0.2 1.4
	0.5	0.5			P y j \| 1
					P y j \| 1

P 2 | 1 0.20.6 13

P 4 | 1 0.40.6 23

M h | 1 2 13 4 23 2

P y j | 3

P 2 | 3 0.40.3 34

P 4 | 3 0.40.1 14

M h | 3 2 34 4 14 12

x M | h y x y M h | x y

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
02.10.202015.56 Кб27Programma_na_kolokvium.docx
#
02.10.2020195.07 Кб29Teor_ver_2020__kopia.doc
#
02.10.2020257.02 Кб29Teor_ver_2020__VPI11-12.doc
#
02.10.2020653.31 Кб15Vremyanka_VKB21-23.doc
#
02.10.20202.29 Mб31Задачник.docx
#
02.10.20203.19 Mб35полная методичка.pdf