Добавил:

Nik_dstu Negorov1337@gmail.com inst:vech.no_17 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донской Государственный Технический Университет

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

полная методичка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.10.2020

Размер:

3.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

p6(k)	0,4
p6(k)
	0,35
	0,3
	0,25
	0,2
	0,15
	0,1
	0,05
	0
	1	2	3	4	5	6
						k
Рассмотрим аналогичный опыт с другими параметрами p=1/2, n=15.

p15(k)	0,25
p15(k)
	0,2
	0,15
	0,1
	0,05
	0
	1	2	3		4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
																к
Теорема (формула) Пуассона.
Если в серии независимых испытаний по схеме Бернулли n→∞, p→0 в одном испытании;
n•p→ α, то вероятность m успехов может быть рассчитана по следующей приближенной формуле:
	P( m)			m	e
	P( m)			m!	e
				m!
Доказательство:

P( m) C

n m

(1 p)

n m

n p p

m! (n m)!

n m

(n m 1) ... n

m! (n m)! n

n m 1

n m 2

1 x

...

lim

x 0

m 1

m 2

... 1 1

1 x

при больших n.

Замечание:

n~несколько десятков, то можно пользоваться формулой Пуассона p не превышает 1/10 0≤n•p=α≤10

Пример №1 Опрашиваются 500 человек по поводу своего дня рождения (день, месяц). Какова вероятность, что

ровно двое из них родились 23 октября?

Дано:	Решение:
n=500	n•p=500/365≈1,37,				α≈1,37
m=2		1,37	2	e 1,37	0,2385
	P(ξ=2)=	1,37
	P(ξ=2)=
p=1/365	2!

P(ξ=2)-?

Пример №2 Среди 1000 человек по статистике 8 левшей. Какова вероятность, что среди 100 случайно отобранных

людей нет ни одного левши?

Дано: Решение:

p=0,008	P( m) Cm			pm qn m
			n
n=100	P( m)		m	e

		m!
m=0		m!
P(ξ=0)-?	P(ξ=0) e 0.8	0,4493

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если в серии независимых испытаний по схеме Бернулли n p q , то вероятность ровно m успехов вычисляется по следующей приближенной формуле:

(x)

m n p

P( m)

;

(x)

e 2 ;

n p q

Характеристики (x) :

1.(x) - четная: (x) = (x) ;

2.(x) протабулирована.

Задача: Из всех привитых от туберкулеза 94% приобретают иммунитет. Какова вероятность того, что среди 100 000 привитых людей 5800 не имеют иммунитета?

Дано:

n=100000

m=5800

p=0,06

P(ξ=5800)-?

Решение:

P( m) Cm pm qn m

P( m)

(x)

;

n p q

m n p

5800 6000

2,7

n p q

106 0,06 0,94

(2,7) 0,0104;

P(ξ=5800)	0,0104	0,000139
	75

Задача №2 Вероятность встретить знакомого в коридоре института равна 0,2. Какое количество знакомых можно

гарантировано ожидать среди 100 прохожих с вероятностью 0,095?

Дано: Решение:

m n p

n=100

p=0,2

P( m)

n p q

;

n p q

P(ξ=m)=0,095

m-?

m n p

p q P m

p q

m 20

4 0,95 0,38

m 20 0,31 4

m 20 1,24

m1 19; m2 21.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Если в серии независимых испытаний по схеме Бернулли n p q , то вероятность числа

успехов от m1

до m2

включительно вычисляется по следующей формуле:

t 2

m1,2 n p

P(m1 m2 )

2 dt , где

x1,2

n p q

Характеристики:

t 2

1. Ф(х)

2 dt

- интеграл Лапласа; P(m1 m2 ) Ф(х2 ) Ф(х1 ) ;

2.Ф(х) Ф(х) - функция нечетная;

3.Интеграл Лапласа протабулирован;

n p

4.Улучшающая схема:

P(m m

) Ф

n p q

Задача:

Какова вероятность того, что при 200-кратном бросании монеты орел выпадает от 95 до 105 раз?

Дано:			Решение:
n=200				m1 n p				95 100	1		0,705
			x1	m1 n p				95 100	1

m1	95					n p q		50		2
						n p q		50		2

m2	105		x2		m2 n p			105 100		1		0,705

		1					n p q	50		2
							n p q	50		2
p q
p q		2
		2
P(95 105) ?			P(95 105) Ф(0,705) Ф( 0,705) 2 Ф(0,705) 2 0,2112 0,5224

Распределение Пуассона (случай редких событий)

Распределением Пуассона называется распределение случайной величины ξ, принимающей значение 0;1;2;3;… со следующими вероятностями:

P( m) m e m!

…

e ... e 1

...

... e

Геометрическое распределение

Геометрическим распределением называется распределение случайной величины ξ:1;2;3;… со следующими вероятностями P( m) p qm 1 , где р – вероятность единичного успеха, q –

вероятность неуспеха.
ξ	1	2	3		…
ξ	1	2	3
~		p q	p q	2	бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
~	p			2
p	p				p p q p q2	...	p	1
							p		(0<q<1) – условие нормировки выполнено.

							q
						1	q

Задача:

Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания р, вероятность непопадания – q. Какова вероятность попасть с первого выстрела, со второго выстрела?

Непрерывные случайные величины.

Непрерывные случайные величины – величины, которые принимают все значения числовой

оси( ; ).

В случае непрерывных случайных величин бессмысленно говорить о вероятности каждого его конкретного значения. Можно лишь обсуждать вероятность попадания случайной величины на некоторый промежуток числовой оси. Поэтому для описания непрерывных случайных величин вводится понятие плотности распределения вероятности р(х).

Свойства плотности вероятности:

1. p(x) 0, x R;

2. p(x)dx 1 - условие нормировки;

3. Вероятность попадания случайной величины ξ на [a;b] имеет следующий вид

P(a b) p(x)dx.

Свойства функции распределения:

1.функция непрерывна;

2.не убывает;

3.	lim F(x) 0;lim F(x) 1;
	x	x
4. F (x) p(x);
		b
5.	P(a b) p(x)dx F (b) F (a).

	1	; a x b


p(x) b a

0; x a, x b

Примеры непрерывных случайных величин.

1. Равномерное распределение на отрезке.

0; x a
	a
x
F (x)		; a x b
	a
b

1; x b

x a

F (x) p(t)dt

b a

2. Показательное распределение.

p(x)

0; x 0

; x 0

λ – положительный параметр

e x

F (x)

0; x 0

1 e x ; x 0

F (x) p(t)dt e t dt e t

x (e x 1)

Многомерные законы распределения

На примере двумерных распределений Предположим, что в рамках опыта исследуются 2 дискретные случайные величины ξ(кси) и η(эта).

: x1 ; x2 ;...; xk: y1 ; y2 ;...; ym

Определение: Совместным законом распределения дискретных случайных величин ξ и η (или законом их совместного распределения) называется вероятность P P( xi ; y j ) , определенная на

всем множестве упорядоченных пар (xi ; y j );i 1;...; k; j 1;...; m.

Двумерный закон распределения случайных величин ξ и η имеет вид следующей таблицы:

pij P( xi ; y j )

k m

pij 1

i 1 j 1

pi 1 i 1

p j 1 j 1

Из двумерного закона одномерные законы

выводятся легко.

Вобщем случае одномерные законы не определяют многомерного распределения, т.к. к*m – количество неизвестных

k+m – количество уравнений.

Вслучае непрерывных случайных величин ξ и η их совместное распределение задается плотностью

совместного распределения вероятностей p (x; y) p(x; y) .

1.p(x; y) 0;

2.p(x; y)dxdy 1 - условие нормировки;

3. P((x; y) B) p(x; y)dxdy;

4. p (x) p(x; y)dy

p ( y) p(x; y)dx

Независимые случайные величины

Случайные величины ξ и η называются независимыми, если для совместного закона распределения дискретных случайных величин ξ и η и для плотности совместного распределения вероятностей непрерывных случайных величин ξ и η выполняются следующие соотношения:

P ( xi ; y j ) P ( xi ) P( y j )

Если случайные величины независимы, то двумерное распределение или плотность двумерного распределения однозначно определяются одномерными законами.

Операции над случайными величинами:

1. Сложение и вычитание дискретных случайных величин: ; (дзета)

: x1 ; x2 ;...; xk: y1 ; y2 ;...; ym

Замечание: Если какие-то суммы совпадают, то соответствующие вероятности просто складываются.

2.Произведение двух дискретных случайных величин

3.Сумма двух независимых непрерывных случайных величин

;	p (x); p ( y)

P(a b) P (t)dt

		b x
P(a b) p (x) p ( y)dxdy dx
	B	a x
b
( p (x) p (t x)dx)dt
a

P (t) p (x) p (t x)dx

y t x

t x y p (x) p ( y)dxdy dt dy

tн a,tв b

	b
dx p (x) p (t x)dt
	a

0; x 0; x 1 p (x) 1;0 x 1

0; y 0; y 1 p ( y) 1;0 y 1

a)0 t 0

t		t t
p (t) dx x

	0
0	0
0
б)1 t 2
1		1 2 t
p (t) dx t

	t 1
t 1	t 1

t;0 t 1

P (t) 2 t;1 t 20;t 0;t 2

P (t) p (t x)dx;0 t x 1; x t x 1

Математическое ожидание

Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины называется сумма попарных произведений значений этой случайной величины на вероятности их осуществления.

Обозначения: ; M ; M ( )

M xk P( xk )

k 1

M xk P( xk )

k 1

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется выражение следующего

вида: M x p (x)dx

Примеры:

... x

x1 x2 ... xn

2. Выпадение грани кубика

ξ 1 2

p 1/6 1/6

M x p

3 4

1/6 1/6

(x)dx

5	6				M			21	3,5
5	6
								6
								6
1/6	1/6						4. Равномерное распределение на отрезке [0,1]
									1;0 x 1
							p(x)
									0; x 0; x 1
1		x	2	1		1
xdx				1


	2					2
0	2			0		2
0

Свойства математического ожидания

1. min M max ;

2.M c c, с константа 3. M M

4.Константа-множитель выносится из-под знака математического ожидания.

M (c ) c M ( )

5. Математическое ожидание от алгебраической суммы любых случайных величин равно

алгебраической сумме их математических ожиданий.

M ( ) M ( ) M ( )

а) для дискретных

M ( ) (xi y j ) pij xi ( pij ) y j ( pij ) xi pi

y j p j

i 1 j 1

i 1

j 1

i 1

j 1

б) для непрерывных

M ( ) (x y) p(x, y)dxdy x( p(x, y)dy)dx y( p(x, y)dx)dy x p (x)dx y p ( y)dy

M M

Следствие:

M ( c) M

6. Если случайные величины ξ и η – независимы, то мат. ожидание от произведения случайных

величин равно произведению их мат. ожиданий.

M ( ) M M

а) для дискретных

k m

M ( ) xi y j pij

y j

p j

M M

i 1 j 1

i 1

j 1

б) для непрерывных

M ( ) x y p(x, y)dxdy

p(x, y)dy)dx y( p(x, y)dx)dy

x p (x)dx y p ( y)dy

M M

7.Неравенство Йенсена

Если функция y g(x) выпукла вниз, то для любой случайной величины ξ

Mg( ) g(M ( ))

Доказательство:

Предположим, что функция g(x) дважды дифференцируема по формуле Тейлора:

		1 ~		2
g(x) g(a) g (a) (x a)			g (a ) (x a)
g(x) g(a) g (a) (x a)		2	g (a ) (x a)
~	a; x
a	a; x

Вторая производная выпуклых вниз функций всегда положительная:

g(x) g(a) g (a) (x a) g( ) g(a) g (a) ( a)

Mg( ) g(a) g (a) M ( a)

Пусть a M ( )

M ( a) M ( ) a Mg( ) g(M ( ))

8. Неравенство Ляпунова Для любых положительных α,β; 0<α<β

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
02.10.202015.56 Кб27Programma_na_kolokvium.docx
#
02.10.2020195.07 Кб29Teor_ver_2020__kopia.doc
#
02.10.2020257.02 Кб29Teor_ver_2020__VPI11-12.doc
#
02.10.2020653.31 Кб15Vremyanka_VKB21-23.doc
#
02.10.20202.29 Mб31Задачник.docx
#
02.10.20203.19 Mб35полная методичка.pdf