Лекции / Переходные процессы в линейных ЭЦ часть 1

2

Допустим, что коммутация совершается мгновенно и происходит при

ту коммутации, но после коммутации, через t 0 .

Электрическая цепь, как правило, содержит такие элементы как конден-

сатор и индуктивная катушка. Эти элементы называют накопителями энергии.

ное изменение мощности, сообщаемой цепи. Если потери на поглощение и на излучение малы, то вся эта мощность пойдет на увеличение энергии электро-

магнитного поля цепи. Это означает, что при всех мгновенных, но определенных по величине изменениях мощности, отдаваемой источником,

фактическая энергия поля в системе не изменяется мгновенно, так что при коммутации энергия накопителей не может измениться, т.к. они обладают инерцией

WЭ WЭ 0 WЭ 0 0, WМ WМ 0 WМ 0 0 .

Таким образом, в момент коммутации напряжения на обкладках конденсато-

ров и токи в индуктивных катушках – непрерывные функции времени, другими словами: в момент коммутации остаются неизменными напряжения на об-

кладках конденсатора и токи в индуктивных катушках. Этот факт обычно называют законами коммутации.

(*Если в ветви с конденсатором до момента коммутации напряжение на его обкладках было равно нулю, то в момент коммутации напряжение на конденсаторе также останется равным нулю. Если бы в момент коммутации в

3

ветви с конденсатором напряжение на его обкладках изменилось скачком, то

второй закон Кирхгофа).

(**Если в ветви с индуктивностью до момента коммутации ток был равен нулю, то в момент коммутации ток в этой ветви также останется равным нулю. Если бы в момент коммутации в ветви с катушкой индуктивности ток изменил-

изменяться скачкообразно, поскольку в противном случае катушка индуктивности и конденсатор обладали бы бесконечно большими мощностями, что лишено физического смысла, так как реальные источники питания, к которым подключаются элементы L и C, бесконечной мощностью не обладают)

процессом до коммутации, то говорят, что имеют место ненулевые начальные

Внимание. Очень важно различать значения токов и напряжений, имевших ме-

сто до коммутации, от начальных значений тех же величин, в особенности, при

использовании источников, характеризуемых разрывными функциями.

Если ток в катушке и напряжение на конденсаторе до коммутации были равны

начальные условия и по законам коммутации можно написать

uC 0 uC 0 0 , iL 0 iL 0 0 .

5

Свободный член уравнения (1.1) – функция f t определяет возмущение системы, которое может включать функцию, характеризующую источники

(например, источники ЭДС), и несколько ее производных. В большинстве слу-

чаев функция f t - непрерывная функция времени, поэтому коэффициенты an

уравнения (1.1) зависят только от параметров цепи.

Для линейных пассивных электрических цепей все коэффициенты харак-

теристического уравнения – действительные и положительные.

При этом условии корни характеристического уравнения, если они явля-

ются простыми, могут быть:

действительными и отрицательными;

равными нулю;

мнимыми, попарно сопряженными;

комплексными с отрицательной действительной частью, попарно сопря-

женными.

Пусть корни этого уравнения простые (вещественные и разные по вели-

чине): 1, 2 ,..., n . Следует еще раз отметить, что корни должны быть

отрицательными числами. Тогда свободный ток ищется в виде

стоянных равно «n», поэтому для их определения необходимы «n» уравнений.

Эти уравнения получим следующим образом

Внимание. Характер «свободной» составляющей не зависит от вида свободно-

«свободной» составляющей Далее используем уравнение (1.2) и уравнения, получаемые из уравнения

(1.3) при m 1, 2, ...,n 1 .

8

тых ветвей). Полученное выражение приравнивается нулю, в результате реше-

ния этого уравнения находятся корни, которые являются корнями

характеристического уравнения.

1.2. Переходные процессы в цепи с последовательно

соединенными R и L (1 порядка)

а). Включение на постоянное напряжение

Здесь и в дальнейшем направление стрелки у ключа показывает действие во время коммутации.

Пусть t=0 есть момент коммутации.

Составим уравнение цепи после коммутации

( t 0 )

Решение уравнения (1.5) ищем в виде

R L 0 .

Решаем характеристическое уравнение и находим корень:

процесса, она характеризует интенсивность протекания переходного процесса и зависит только от параметров цепи.

Теоретически новый установившийся режим наступает при t . Прак-

тически уже при 4 5 переходный процесс можно считать завершенным.

****** Обычно длительность переходных процессов можно считать из-

меряемой долями секунд. В цепях, не содержащих индуктивных катушек и конденсаторов, установившийся режим наступает практически мгновенно.

Чтобы найти постоянную интегрирования А, уравнение (6) запишем сле-

дующим образом:

Формируем выражение для тока в переходном режиме в соответствии с форму-

лой (1.7):

Задаваясь значениями време-

ни по полученному выражению можно построить график тока (рис. 1.2). При этом необходимо учиты-

10

вать, что переходный процесс, как правило, длится 4 5 .

Постоянную можно определить по графикам. Для этого необходимо провести касательную к любой точке графика, опустить перпендикуляры на ось времени из точки касания и точки пересечения касательной уровня, соответ-

ствующего установившемуся значению тока. Расстояние между этими перпендикулярами равно постоянной времени.

Напряжение на индуктивности определяется по формуле:

По аналогии строится график изменения напряжения на индуктивной ка-

тушке во время переходного режима (рис. 1.2).

б). Короткое замыкание (Рис. 1.3).

Пусть t=0 есть момент коммутации. Составим уравнение цепи после коммутации ( t 0 )