Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1265 вузов, 4640 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Студент, если у тебя есть завалявшиеся работы, то не стесняйся, загрузи их на СтудентФайлс! Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I
Предмет:
Теоретические основы электротехники
Файл:

Лекции / Lektsia_Po_Toe_Ot_15_05_2020_Rezonans_Tokov_docx

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
11.07.2020
Размер:
709.13 Кб
Скачать
☆

1

Резонанс токов

Рассмотрим цепь, состоящую из параллельно включенных активного, индуктивного и емкостного сопротивлений.

 

 

 

 

 

Для этой цепи комплексная

 

i

 

 

проводимость:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

Y G jB y e

, G 1 R - активная

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

проводимость. Угол сдвига фаз:

 

 

 

G

 

L

C

 

B

 

 

BL BC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

arctg

.

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

Полная проводимость цепи:

y

G

2

B

2

 

G

2

 

1

 

 

 

 

ωL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из этого выражения видно, что взаимная компенсация

 

2

 

ωC .

 

 

реактивных

проводимостей достигается при условии когда

1

ω C

C

 

1

,

 

 

 

 

 

 

 

ω L

0

L

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

т.е. когда 0 ;

В 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда полная проводимость цепи

y G ,

при этом в цепи наблюдается

резонанс.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Векторная диаграмма при резонансе имеет вид:

 

 

 

 

 

Здесь вектор

тока I

всей цепи

совпадает с

IC=Uω0C

вектором

тока

IG

в активной проводимости,

 

 

поскольку токи IL и IC находятся в противофазе.

U

При частотах близких к резонансным токи в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

параллельных ветвях содержащих реактивные

 

элементы могут значительно превышать ток на

 

входе.

 

 

 

 

 

 

 

 

IL=

Поэтому

резонанс

при

параллельном

 

 

соединении называют резонансом токов.

Для идеального резонансного контура, когда

входное сопротивление

цепи бесконечно велико, или когда активная проводимость G = 0, имеет место равенство: I IL IC 0.

2

Кратность превышения токов в ветвях с реактивными элементами получают из соотношений:

где

1

 

1

 

 

1

ω L

1

 

L

 

L

 

0

 

LC

 

C

 

 

 

 

 

I

0L

 

 

 

 

I

 

 

C

 

L

 

 

 

I

0C

 

 

 

I

.

 

1

 

ω L

0

 

G

 

ω C

0

 

G

,

Аналогично для

ω С .

 

0

Таким образом, отношение параллельном соединении элементов

C

L G G,

Q L,C .

есть добротность контура при

Энергетические процессы при резонансе токов

Суммарная энергия магнитного и электрического полей равна:

 

W W

W

 

Li

2

 

Cu

2

.

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

М

Э

 

 

 

 

 

Пусть в резонансном контуре действует напряжение

u Um sin

Ток в катушке индуктивности будет отставать от напряжения на угол

i

I

 

 

ω t

 

I

 

cosω t .

 

sin

 

 

 

L

 

mL

 

0

2

 

 

mL

0

Но

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Um Lω

I

 

 

 

L

I

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mL

C

mL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

L

I

2

sin

2

ω t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

WЭ

 

C

 

mL

 

 

0

 

 

Тогда WМ

 

LImL cos

ω0t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

LI

2

sin

2 ω t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

 

mL

 

 

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Э

 

 

 

 

 

 

 

 

ω0t

2 :

.

Тогда суммарная электромагнитная энергия может быть записана в виде:

 

 

 

LI 2

CU 2

 

W

W

 

m

 

mC

const

.

2

2

М

Э

 

 

 

 

3

Частотные характеристики цепи с параллельным соединением элементов

При изменении частоты от

реактивная проводимость

B

0до

BL

ω0 BC

 

носит индуктивный характер и изменяется

 

от ∞ до 0.

 

 

 

При изменении частоты от

ω

до

 

ω

0

 

0

 

 

результирующая реактивная проводимость

 

ω0

 

 

изменяется от

характер.

0 до −

и носит емкостной

 

φ

При изменении частоты от 0 до

 

 

угол сдвига фаз между током и

 

ω

напряжением изменяется от

до 0.

0

ω0

При изменении частоты от

до

 

 

 

 

 

угол сдвига фаз изменяется от 0 до

 

 

.

 

Резонансная характеристика

Покажем зависимости токов на элементах контура от частоты при поддержании тока I = const.

I

ω

L

 

4

Резонансные характеристики

IL

IC

ωC IR

U

 

0

 

 

 

Рис.

Ток через катушку индуктивности:

I

 

 

U

 

 

 

I

 

L

ωL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

ωL

G

 

 

 

 

 

 

ωL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ток через конденсатор:

I

 

ωC U ωC

 

 

I

C

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

G

2

 

 

 

 

ωL

 

 

 

 

 

 

2

 

ωC

 

 

 

ωL

.

2

.

На резонансной частоте входная проводимость параллельного контура:

1

 

y G

 

,

Q

C

где Q GL .

Таким образом, входная проводимость параллельного контура, достаточно мала при высокой добротности, что позволяет эффективно подавлять нежелательные частоты.

 

5

Резонанс в сложных цепях

 

Условия резонанса для разветвленной цепи с несколькими

индуктивными и емкостными элементами дают для угловой частоты

ω

уравнения, которые могут иметь несколько вещественных корней.

 

Это означает, что у разветвленной цепи может быть несколько резонансных частот.

В качестве примера рассмотрим электрическую цепь, потерями в которой можно пренебречь.

L3

L1 C2

Входное сопротивление для приведенной цепи будет чисто реактивным и запишется в виде:

 

jωL1( j

1

)

 

 

 

ωL1

 

 

1

 

 

 

 

 

ωL1

 

 

 

 

 

ωC

 

 

 

ωC

 

 

 

 

 

ωC

 

 

 

 

Z jωL

 

 

 

2

jωL

 

 

 

 

2

 

 

jωL j

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

jωL

j

1

3

j(ωL

1

 

)

 

3

ωL

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

ωC2

 

 

 

 

 

1

 

 

ωC2

 

 

 

1

ωC2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωL1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j(ωL3

 

) jX ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω2L C 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где X - реактивное сопротивление цепи.

Так как в данном случае активными сопротивлениями цепи пренебрегаем, то резонанс наступит при В = 0 или при Х = 0, причем, если Х

=0, то В = ∞, и наоборот, если В = 0, то Х = ∞.

Врассматриваемом случае реактивное сопротивление Х будет равно

бесконечности (Х = ∞) при

ω2L C 1 0

или ω

 

1

 

. На этой частоте

 

 

 

 

1

2

 

 

L1C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

наступает резонанс токов в параллельных ветвях с элементами

ω ωТ .

L1

и

C2

, т.е.

Полагая реактивное сопротивление Х равное нулю (Х = 0), можем записать:

т.е.

ω ω

Н

 

ωL

 

ωL

L

 

 

L

 

 

ω2L C

 

L

1

 

1

 

1

 

1

1

3

 

ω2L C

1

3

 

ω2L C

 

 

 

1

2

 

L

 

 

 

1

2

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω2

L L

ω

L L

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

1

 

3

,

 

 

 

 

 

 

 

 

L L C

 

 

 

L L C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

2

 

 

 

1

3

2

 

 

 

 

.

На этой частоте наступает резонанс напряжений в последовательном

контуре.

Таким

образом, у рассмотренной цепи имеем две резонансные

частоты:

ω

ω

Н .

 

 

Т и

 

 

 

Покажем частотные характеристики проводимостей и сопротивлений

рассмотренной цепи.

 

 

 

 

 

 

B, X

 

 

 

 

 

 

X3

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

B1

 

 

 

0

 

ω

 

 

 

ωT

ωH

 

 

 

 

 

 

 

 

B2

B'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X'

На приведенном рисунке кривые

B

1

ωL

1

 

1

и

B

ωC

 

2

2

представляют

характеристики проводимостей двух параллельных ветвей 1 и 2.

Суммируя ординаты эквивалентной проводимости

этих кривых, получим характеристику

'

ветвей 1 и 2.

B

Кривая X' 1 представляет собой эквивалентное сопротивление этих

B'

7

же параллельных ветвей. Тогда, суммируя ординаты кривых

строим характеристику входного сопротивления цепи X.

X

'

 

и

X

3

 

ωL3

,

Эта характеристика имеет две особые точки при

Лекцию законспектировать.

Данный материал можно посмотреть и изучить также в

ω ωТ

:

и

ω ω

Н

 

.

1.Теоретические основы электротехники: в 3-х томах. Учебник для вузов.

Том 1 – 4-изд. / Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. – СПб.: Питер, 2003. -463с.

п. 6.4, 6.5, 6.3 с. 307-311, п. 6.7 с.314-316.

2.Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е перераб. / Зевеке Г.В.,

Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. –М.: Энергия, 1975. -752с.

п. 5-3, с.180-188, п. 5-4, с. 182-183, п. 5-5 с. 183.

По окончании изучения материала ответить на вопросы по данной лекции.

Соседние файлы в папке Лекции
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности