Добавил:

Adamant Студент, если у тебя есть завалявшиеся работы, то не стесняйся, загрузи их на СтудентФайлс! Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Лекции / Лекция по ТОЭ ПП с 2РЭ от 08.04.2020

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.09.2020

Размер:

775.13 Кб

Скачать

☆

ЛЕКЦИЯ от 08.04.2020

РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ С ДВУМЯ РЕАКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

(продолжение лекции от 25.03.2020)

1.4. Переходные процессы в цепи с последовательно соединенными R, L и С (контуры II порядка)

Интегро-дифференциальное уравнение цепи, 1.13, выглядит следующим образом:

	di	1	t		0 ,
u Ri L				idt uC
	dt	C
			0

представленной на рис

(1.22)

Продифференцируем уравнение (1.22)

(1.23)

Решение ищем в виде:

i i/ i// .

(1.24)

Запишем уравнение (1.23) для

свободной составляющей:

R di

Введем обозначения 2

- коэффициент затухания,

, 0

- частота свободных колебаний.

Запишем характеристическое уравнение:

2 2 02 0 .

Корни характеристического уравнения равны:

1,2 2 02 .

Свободную составляющую ищем в виде

i// A1e 1t A2e 2t .

Тогда формула для тока приводится к следующему виду

i i

(1.23)

A1e

A2e

Постоянные интегрирования А1

и А2

находятся из условий неизменности тока

в катушке и напряжения на конденсаторе в момент коммутации:

i 0 i 0 ,

uC 0 uC 0 .

Для определения А1

и А2 надо знать величину тока и его производных до

порядка

n 1

включительно

при

t=0.

В данном

случае

n 2 , поэтому

достаточно

знать начальное

значение

тока и его

первой

производной.

Начальная величина тока

i 0

известна.

Начальную величину производной тока находим из исходного уравнения

di
u 0 Ri 0 L

dt

t 0

u	C

(1.24)

Отсюда находим

di

dt t 0

u 0

Ri 0 u	C	0
	C
L

Из (1.23) имеем

2 A2e

1 A1e

Из (1.23) и (1.25) при t=0 имеем

i 0 i

0 A A

u 0 Ri 0 u

A A

1 1

t 0

/	di/
где i 0 ,			есть значения установившегося тока и его производной в


		dt t 0

(1.25)

(1.26)

начальный момент времени, известные из найденного ранее частного решения исходного дифференциального уравнения (1.22).

Из системы уравнений (1.26) находим А1 и А2.

1.5. Разряд конденсатора на цепь R и L

Пусть t=0 есть момент коммутации.

До коммутации напряжение на конденсаторе равно uC 0 U

, ток

через индуктивность равен

i 0 0

Согласно законам коммутации запишем начальные условия

uC 0

U ,

i 0 0

Запишем уравнение цепи

после

коммутации,

учитывая,

что

приложенное

напряжение отсутствует (

u 0

i dt u 0 0

Ri L

Решение ищем в виде i i

A1e

A2e

Учтем, что установившийся ток равен

нулю

из-за

наличия

индуктивности

di		/
		/

	dt
	dt

t 0

Тогда переходный ток равен:

		i i A1e 1t A2e 2 t .				(1.27)
При	t 0	из (1.26) имеем:
При		из (1.26) имеем:
		0 A1 A2

			U
				1 A1	2 A2
			L	1 A1	2 A2
			L			.
						.

Отсюда находим постоянные:

A A					U
A A			L
1	2		L
1	2
					1		2
Подставим А1 и А2 в формулу (1.27) и получим:
i	U			t
i	L			e	1	e		2
					1			2
		2
	1	2

Найдем напряжение на индуктивности: uL

Напряжение на конденсаторе равно:

t	.
t

			U	e 1t		e 2t
				e 1t		e 2t
		1	2	1	2
		1	2			.
						.

так как

	2
1

		2
		0
		0

uC 1 t i dt C 0

		U
LC			2
		1	2
	1	, то uC
	LC

			1					U							1t					2t		t
U			1					U						e						e			U
U						L																	U
		C				L					2					1					2
								1			2					1					2	0
			e 1t e 2t										U					2						U
	2						1											2			1
												LC													,
				1			2									1			2			1	2		,
				1			2									1			2			1	2
			U					2e	t	1e					t		.
								2e	1	1e					2		.
									1						2
			1		2
			1		2

Характер процесса разряда существенно зависит от корней характеристического уравнения, т.е. от параметров цепи.

А). Апериодический разряд.

Корни характеристического уравнения вещественные и отличные по

величине. Для этого должно выполняться

условие	0	или	R	1	отсюда
			2L	LC

	R	L
	R	C
		C

. При этом условии -

	1

	2

Для определенности	допустим, что
1 2 , поэтому e 1t e 2t	0	при 0 t .
Это показано на рис. 1.15.
Можно видеть, что ток	i	не меняет своего направления (i<0, U>0), т.е.

конденсатор все время разряжается. Такой односторонний разряд конденсатора

называется апериодическим. На рис. 1.16 показаны графики					C			L	этого
				i,	u	,	u
разряда.
В этом случае имеем два
характерных	интервала						разряда,
разделенных	точкой					t	M	,	при
						t
которой ток достигает максимума.
При 0 t tM	uC	и	i	имеют разные
знаки (uCi 0),		т.е. конденсатор
отдает энергию резистору (R) и
катушке Ri2	0,	u	i 0 .
		L

При энергия от

tM t имеем uCi 0, uLi конденсатора и катушки.

Ri2 0, т.е. в резистор поступает

Б) Критический режим (предельный случай апериодического разряда).

В этом режиме корни характеристического уравнения вещественны и

равны друг другу. Соблюдается условие

, т.е.

	R 2	L
	R 2	C
		C

. В этом случае

		2
1		2

. Формулы для тока и напряжения носят неопределенный характер.

Имеется неопределенность типа

	0	.
	0	.
	0

Раскроем неопределенность по правилу

Лапиталя, полагая		1	переменной, стремящейся к

тока записывается следующим образом:

	2	.
	2

Тогда выражение для

i lim

lim

Найдем напряжение на индуктивности:

uL	L	di	U	t 1 e	t	.

		dt

Найдем напряжение на конденсаторе:

	U	te

	L

	1	t
uC		idt U U
	C
		0

t 1 e	t

В этом режиме характер процесса разряда такой же,

0	- предельный (пограничный), т.к. при	R 2	L
			C

что и при 0 . Случай

разряд становится

колебательным.

Критический режим предполагает быстрое спадание амплитуды без колебаний и наиболее желателен во всех индикаторных, измерительных и контрольных приборах.

В) Колебательный разряд.

В колебательном режиме корни характеристического уравнения -

комплексные сопряженные числа. Это получается, когда выполняется условие

Здесь

, т.е.	R 2		L		.
	R 2		C


Обозначим						/		2
						/		2
							0
							1,2
							1,2
								/
								/
cos			,	sin
		0						0
		0						0




2	. Тогда корни равны:
	. Тогда корни равны:
		2	2	j		/		e	j
			0	j				e
			0				0
Следовательно							.
					2

Ток равен:

j / t

sin

2 jL

i Ie

sin

t .

Напряжение на катушке равно:

jθ

2 j

U 0 e t sin / t θ .

Напряжение на конденсаторе равно:

e 1t e 2t

e jθ e j /t

e jθ e j /t e t

2 j /

U 0

e t sin / t .

Графики i, u

Как можно напряжения

R		L		C	приведены на рис. 1.17.
	,	u	,	u

видеть разряд носит колебательный характер. Кривые тока и периодически меняют знак. Данные величины колеблются с

угловой частотой

			1	R	2
/	2	2	1	R


	0		LC		2
			LC	4L

и периодом T /	2		2			. Как


	/	1		R	2
					2

				4L2
		LC		4L2

можно заметить затухание влияет на частоту колебаний, но это эффект второго порядка, поэтому в большинстве случаев этим влиянием пренебрегают.

Амплитуда колебаний уменьшается согласно экспоненте, другими словами: колебания затухают. Интенсивность затухания характеризуется декрементом колебаний , равным отношению двух соседних максимумов одного знака:

Ie	t	: Ie	t T /	T /
Ie		: Ie		e
				или	логарифмическим
				декрементом		колебаний

T	/	.
	/

На графике выделим

характерные точки:

	t
/
	1

(ток достигает

максимума,

);

( uC 0 );

(

i 0,

C ).

интервале

0 t t

конденсатор разряжается на R

и L.

В интервале

t t

в R поступает энергия от конденсатора и катушки.

В интервале t2

t t3

конденсатор заряжается за счет энергии магнитного поля

катушки.

Описанный процесс, происходящий при

0 t t3

повторяется и в

следующем полупериоде, но знаки тока и напряжений противоположны соответствующим знакам в первом полупериоде, а сами эти величины становятся меньше из-за потерь, выделяющихся на R.

В предельном случае (R=0) имеем 0, / 0 , T / Т0 2 LC. В этом случае колебания не затухают и имеют период T0 2 LC (формула Томсона).

		8
При этом угловая частота колебаний 0	1		равна резонансной частоте


	LC
	LC
контура.

1.6. Включение цепи R, L, C на постоянное напряжение

Пусть t=0 есть момент коммутации.

Допустим, что начальные условия - нулевые:

i 0 0, u

0 0.

Уравнение цепи после коммутации

выглядит следующим образом

U Ri L

idt .

Решение ищем в виде i i

В данном случае i

, поэтому

. Из (1.26) имеем

A1e

A2e

0 A

A ,

													U						A						A .
																			A					2	A .
													L					1		1				2			2
													L
Решая эту систему, находим постоянные:																							A1										U				, A2		U		.

																													L 1						2				L 1	2
																													L 1						2				L 1	2
Таким образом, ток равен:
							i					U					e 1			t e 2						t .															(1.28)

									L			1			2
												1			2
Определим напряжение на конденсаторе:
							t																								1		t			2	t	t
																																						t

					1								0								U									e				e
	uC				1		idt uC														U									e				e
																	LC
					C
					C		0															1					2					1				2
							0															1					2					1				2		0
								U						e						t	e							t									,	0
								U												t								t
		LC																	1								2
																			1								2
																2							1										2		1
							1			2				2
							1			2		1		2
так как 1 2 02	1	,		то
так как 1 2 02	LC	,		то
	LC
	u							U						e 1 t			e 2						t U .																		(1.29)
	u		C											e 1 t			e 2						t U .																		(1.29)
			C			1							2							1
						1					2

Ток (1.28) выражается той же

Если корни вещественны

формулой, что и при разряде конденсатора,

но с противоположным знаком, что

характеризует	процесс	заряда
конденсатора.	Напряжение	uC
нарастает от 0 до U.
Характер	переходного процесса
определяется		корнями
характеристического уравнения.
0 , то имеем графики, показанные на рис.

1.18

Графики на рис. 1.19 характеризуют колебательный процесс 0 ,

корни характеристического уравнения - комплексные сопряженные числа.

Рекомендуемая литература

1.Теоретические основы электротехники [Текст]: Учеб. для вузов / К. С.

Демирчян [и др.]. Т.2. – М.: Питер, 2003. – 575 с.

Ответить на вопросы по лекции:

1.Что необходимо знать для определения постоянных интегрирования А1 и А2 в цепи с двумя реактивными элементами?

2.Какие корни характеристического уравнения получают в случае критического характера переходного процесса?

3.Какие корни характеристического уравнения получают в случае

колебательного характера переходного процесса?

Соседние файлы в папке Лекции

#
11.07.2020553.87 Кб15Lektsia_As_Ar_Ot_28_05_2020_Transformator.pdf
#
11.07.2020766.29 Кб12Lektsia_Po_Toe_Dlya_As_Ar_Ot_22_05_2020_Indsvyaz_Tsepi.pdf
#
11.07.2020709.13 Кб15Lektsia_Po_Toe_Ot_15_05_2020_Rezonans_Tokov_docx.pdf
#
28.09.2020528.89 Кб15Лекция от 22 апреля Операторный метод расчтета переходных процессов.pdf
#
28.09.2020535.33 Кб20Лекция по ТОЭ интеграл_ Дюамеля от 06.05.2020.docx.pdf
#
28.09.2020775.13 Кб14Лекция по ТОЭ ПП с 2РЭ от 08.04.2020.pdf
#
28.09.2020484.07 Кб18Линейные и нелинейные магнитные цепи.docx
#
28.09.2020747.02 Кб17Переходные процессы в линейных ЭЦ часть 1.pdf