МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до лабораторної роботи

«Методи розв’язання симетричної проблеми власних значень і векторів. Сингулярний розклад»

та курсового проектування

з курсів «Чисельні методи», «Обчислювальні методи»

для студентів напрямків 6.040303 «Системний аналіз», 6.040302 «Інформатика»

Затверджено редакційновидавничою радою університету,

протокол № 2 від 01.12.10

Харків НТУ «ХПІ» 2011

Методичні вказівки до лабораторної роботи «Методи розв’язання симетричної проблеми власних значень і векторів. Сингулярний розклад» та курсового проектування з курсів «Чисельні методи», «Обчислювальні методи» для студентів напрямків 6.040303 «Системний аналіз», 6.040302 «Інформатика» / Уклад.: Н.А. Марченко. – Х.: НТУ «ХПІ», 2011. – 56 с.

Укладач Н.А. Марченко

Рецензент Л.М. Любчик

Кафедра системного аналізу і управління

2

ВСТУП

До чисельних методів лінійної алгебри традиційно відносять чисельні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходження оберненої матриці, обчислення визначників, а також знаходження власних значень і власних векторів матриць, при цьому остання задача є однією з найважчих.

У різних практичних випадках виникають різні вимоги до інформації про власні значення і власні вектори матриці. Для розв’язання деяких задач механіки, фізики, хімії необхідне отримання всіх власних значень, а іноді і всіх власних векторів матриць. Таку задачу називають п о в но ю

(а лг ебр а їч но ю а бо ма т р и чно ю ) п р о б ле мо ю в ла сни х з на че нь .

Часто для характеризстики процесу, що моделюється, необхідно знайти тільки максимальне або мінімальне за модулем власне значення матриці. Ця проблема виникає, зокрема, під час розв’язання деяких задач ядерної фізики. Як правило, матриці в цих задачах мають дуже великий

порядок (103 106 і більше). При дослідженні коливальних процесів іноді потрібно відшукати два максимальних за модулем власних значення матриці, при цьому менше достатньо визначити з меншою точністю. Також у теорії коливань виникає задача пошуку власного значення матриці, найбільш близького до заданого числа, або визначення відстані від заданого числа до спектра матриці. Розглянуті задачі належать до ча ст к о во ї п р о бле ми в ла с ни х з н а ч ень .

Розгляд часткової проблема як окремого випадку повної проблеми власних значень та застосування для її розв’язання чисельних методів, орієнтованих на пошук усіх власних значень і векторів, призводить до невиправдано великого обсягу обчислень. Крім того, в багатьох практичних задачах матриці є симетричними. Тому окремо виділяють чи се ль ні мето ди р о з в ’ я з а н ня си метр и ч но ї п р о б ле ми в ла с ни х з на че нь ,

які мають значно меншу кількість арифметичних операцій порівняно з методами знаходження власних значень довільних матриць.

3