Численные Лаба 5
.docЛабораторна робота № 5 Прямі методи знаходження власних значень і векторів
Метою роботи є закріплення знань студентів по прямим методам знаходження власних значень і векторів матриць.
Постановка завдання
-
Додати метод, що дозволяє обчислити коефіцієнти характеристичного полінома матриці за методом Д.К. Фадеєва та її обернену матрицю.
-
Додати метод, що дозволяє обчислити коефіцієнти характеристичного полінома матриці за методом А.М. Данилевського.
-
Додати метод, що дозволяє по відомому характеристичному поліному знайти його корені, тобто власні значення матриці.
Для локалізації власних значень скористатися умовою . Таким чином, всі власні значення будуть належати проміжку . Як метод знаходження коренів полінома можна обрати, наприклад, метод хорд.
Алгоритм методу хорд.
Якщо знайдено інтервал локалізації кореня рівняння , на кінцях якого функція приймає значення з різними знаками, тобто , то чергове наближення буде у точці , де перетинає вісь абсцис пряма, що проведена через точки і .
Як новий інтервал для продовження ітераційного процесу обирається той з двох або , на кінцях якого функція має значення з різними знаками, тобто один з кінців початкового інтервалу фіксується. Позначимо його через .
Таким чином, для визначення точки перетину на -у кроці справедлива формула:
.
Процес уточнення кореня закінчується, коли відстань між черговими наближеннями стане меншою заданої точності ε, тобто коли , або коли значення функції попадуть у область шуму, тобто .
Методом хорд можна також шукати початкове наближення до кореня. У цьому випадку фіксується один з кінців інтервалу, наприклад, точка a, і через точки а і проводиться хорда. Причому в даному випадку функція в точках а і може мати однакові знаки. Далі шукається точка перетину з віссю абсцис
.
Після цього розглядається новий інтервал і процес повторюється до тих пір, поки . Точка с у даному випадку і буде коренем рівняння.
Після знаходження будь-якого кореня характеристичного полінома для обчислення інших коренів треба перейти від початкового полінома до полінома з коефіцієнтами , де с – знайдений корінь. Для цього можна використати схему Горнера:
-
Додати метод, що дозволяє обчислити власні вектори матриці за методом А.М. Данилевського.