- •Глава 2математичні моделі повідомлень, сигналів і завад
- •2.1 Функціональні простори і їх базиси
- •2.2 Спектральний аналіз сигналів на основі рядів Фур'є
- •2.2.1 Спектральне представлення періодичних сигналів
- •2.2.2 Спектральне представлення неперіодичних сигналів
- •2.3 Ортогональні функції Радемахера і Уолша
- •2.4 Дискретизація в часі безперервних сигналів і їх відновлення
- •2.4.1 Дискретизація безперервних сигналів
- •2.4.2 Спектральне уявлення дискретизованих сигналів
- •2.4.3 Особливості дискретизації сигналів
- •2.4.5 Відновлення безперервного сигналу
- •2.5 Випадкові процеси та їх загальні характеристики
- •2.5.1 Функції розподілу випадкових процесів
- •2.5.2 Моментні (числові) характеристики випадкових процесів
- •2.5.3 Приклади деяких випадкових процесів
- •2.5.3.1 Сукупність гармонійних коливань з випадковою амплітудою
- •2.5.3.2 Сукупність гармонійних коливань з випадковими фазами
- •2.5.3.3 Гаусовий (нормальний) випадковий процес
- •2.5.3.4 Сума гармонійних реалізацій з випадковими фазами нормального гаусового шуму
- •2.5.3.5 Розподілення Пуассона
- •2.5.3.6 Експоненціальне розподілення
- •2.5.4 Кореляційні функції детермінованих і випадкових процесів
- •2.5.4.1 Кореляційні функції детермінованих сигналів
- •2.5.4.2 Кореляційні функції випадкових процесів (сигналів)
- •2.5.4.3 Взаємні кореляційні функції різних випадкових процесів (сигналів)
- •2.5.4.4 Зв'язок між кореляційною функцією стаціонарного випадкового процесу і його спектральною щільністю потужності
- •2.6 Аналітичний вузькосмуговий сигнал
- •2.6.1 Математичні моделі і характеристики аналітичного сигналу
- •2.6.2 Імовірнісні характеристики огинаючої і фази вузькосмугового випадкового гаусового процесу
- •2.7 Марковські процеси
2.2.2 Спектральне представлення неперіодичних сигналів
Розкладання в тригонометричний ряд Фур'є (2.29) може бути узагальнене для випадку неперіодичних сигналів при спрямуванніабо. Для цього запишемо (2.29) у наступному вигляді:
, (2.32)
де – частотний рознос між лініями спектра періодичного сигналу.
Розглянемо поточну частоту спектра і визначимо спектральну щільність (СЩ) за Фур'є для неперіодичного сигналу:
. (2.33)
Тоді з (2.32) при отримаємо вираз
, (2.34)
а з (2.30) і (2.33) тоді формула для визначення СЩ буде мати наступний вигляд
. (2.35)
Згідно (2.34) неперіодична функція має вигляд суми гармонійних компонентів (на додатних і від’ємних частотах) з нескінченно малими амплітудами . Модуль визначає неперервний спектр неперіодичного сигналу, a – безперервний фазовий спектр неперіодичного сигналу. Спектр по Фур'є можна записати як
,
де – парна функція частоти (2.36,а); – непарна функція частоти. (2.36,б)
З виразів (2.36 а,б) видно, що для дійсних функцій амплітудний спектр– є парною функцією частоти, фазовий спектр– непарна функція частоти.
Дискретний (лінійчатий) спектр амплітуд періодичного сигналуз урахуванням (2.30) можна знайти за формулою
. (2.37)
Перетворення Фур'є (пряме і (зворотне) описуються, як видно з (2.32) і (2.33), лінійним оператором. Тому для цих перетворень справедливий принцип суперпозиції (накладення): СЩ для сигналу визначається сумою СЩ доданків. Варто підкреслити, що, строго кажучи, СЩ (2.33) існує для сигналів, які задовольняють умові абсолютної інтегрованості
. (2.38)
Проте можна визначити СЩ і для сигналів , що не задовольняють умові (2.38), якщо скористатися введеною вищеузагальненою -функцією. Наприклад, нехай , тоді СЩ за Фур'є такого сигналу за визначенням знаходиться з виразу
. (2.39)
Скориставшись інтегральним визначенням -функції з (2.39) одержимо результат. Аналогічно можна показати, що СЩ для сигналу дорівнює .
Як наслідок цього, СЩ для сигналу набуде вигляду, спектральна щільність для сигналузапишеться формулою .
Скалярний добуток функцій і(у загальному випадку комплексних) у просторі Гілбертаможна виразити і через їхній СЩ за Фур'є:
. (2.40)
Співвідношення (2.40) називають узагальненою формулою Релея (або рівністю Парсеваля).
Якщо в (2.40) припустити, що , то для дійсного сигналумаємо
. (2.41)
Характеристика маєсмисл СЩ енергії, і вираз (2.41) можна записати у такому вигляді:
. (2.42)
Можна також ввести поняття спектральної щільності потужності (СЩП) сигналу тривалістю :. Тоді вираз для потужності сигналу з (2.42) запишеться як
. (2.43)
Характеристики івідіграють важливу роль у перетворенні сигналів і їхніх спектрів. З їхнього визначення ясно, що ці характеристикиє парними функціями частоти. Тоді вираз для енергії і потужності сигналу запишемо у вигляді
; (2.44)
, (2.45)
де і– відповідно СЩ енергії і потужності, визначені на частотах.
Співвідношення (2.43) корисно узагальнити. Визначимо скалярний добуток і запишемо у наступному вигляді
. (2.46)
Враховуючи, що спектр Фур'є для затриманого на час сигналу дорівнює, а для сигналу спектр Фур'є дорівнює, одержуємо з (2.46) співвідношення
. (2.47)
Якщо в (2.47) припустити і ввести позначеннядля функції кореляції (ФК) сигналуз розмірністю енергії, то можна записати
(2.48)
Ввівши позначення для ФК сигналуз розмірністю потужності, одержуємо співвідношення
(2.49)
і, як наслідок перетворень Вінера-Хінчина отримаємо [20]:
; (2.50,а)
. (2.50,б)
Таким чином, ФКсигналуі його СЩ потужності(аналогічно ФК сигналу і його СЩ енергії) утворять пари перетворень Фур'є.
В табл. 2.1, для ілюстрації, наведені приклади спектрів деяких імпульсів (неперіодичних функцій) і дані графіки їхніх амплітудних спектрів в області додатних частот. З наведених прикладів видно, що імпульси обмеженої тривалості теоретично мають нескінченний спектр. Практично під шириною спектра будемо розуміти ефективну область частот , у межах якої сконцентровано 90...99% енергії.
Для гаусового і експонентного імпульсів, що мають теоретично нескінченну тривалість, для зручності розрахунків також вводять поняття ефективної тривалості , розуміючи під цим інтервал часу, у межах якого зосереджена основна частка енергії сигналу. Якщо прийняти за основну частину всієї енергії сигналу, то ефективна ширина спектра й ефективна тривалість відповідно знаходяться з виразів
та .
Характерною рисою є те (табл. 2.1), що для всіх імпульсів (простих сигналів) виконується співвідношення ,тобто добуток – величина порядку одиниці. Це співвідношення вказує на явний зв'язок між шириною спектра і тривалістю імпульсу: чим коротший імпульс, тим ширший його спектр.
Таблиця 2.1 – Спектри імпульсів різної форми при
№ п/п |
Сигнал |
Спектральна щільність |
Амплітудний спектр | |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
Для порівняння в табл. 2.2 наведені значення добутків придля імпульсів з табл. 2.1.
Таблиця 2.2 – Характеристики імпульсних сигналів
№ п/п |
Імпульс |
|
|
|
1 |
Прямокутний |
|
|
0,73 |
2 |
Трикутний |
|
|
0,46 |
3 |
Косинусоїдальний |
|
|
0,43 |
4 |
Гаусовий |
|
|
0,22 |
5 |
Експонентний |
|
|
1,13 |
Для складних сигналів з базою виконується нерівність.