- •Передмова
- •Методичні вказівки до виконання розрахункових завдань
- •Огляд методів інтегрування.
- •2. Метод інтегрування частинами. Якщо та функції, що мають на деякому проміжку неперервні похідні, то справедлива формула інтегрування частинами:
- •3. Найпростіші інтеграли, які містять у знаменнику
- •4. Інтегрування раціональних дробів.
- •4.1 Розглянемо випадок, коли знаменник розкладається на лише неповторні дійсні множники першого степеня.
- •5.Інтегрування тригонометричних функцій.
- •6.Інтегрування гіперболічних функцій.
- •8.Інтегрування деяких ірраціональних функцій.
- •9.Інтегрування ірраціональних функцій виду
- •Варіанти розрахункових завдань
- •Додаток.
Передмова
Метою розрахунково-графічного завдання (РГЗ) є оволодіння студентами основних прийомів та методів числення невизначених інтегралів.
Операція інтегрування є зворотною по відношенню до диференціального числення і, як будь-яка зворотна операція, є більш складною. Студент повинен оволодіти багатьма прийомами та навиками, знати стандартні методи числення деяких класів інтегралів, а також вміти пристосовувати різні штучні прийоми. Це досягається практикою, яка повинна безперервно супроводжуватись вивченням теоретичного матеріалу.
У РГЗ перед умовами задач даються короткі теоретичні відомості, які містять основні формули, означення і деякі алгоритми.
З метою надання допомоги студентам в організації самостійної роботи при виконанні РГЗ пропонується розв’язок деяких типових прикладів.
При захисті студент повинен пояснити операції що робилися при виконанні РГЗ.
Навчальний посібник містить довідковий матеріал з елементарної математики та список рекомендованої літератури.
Методичні вказівки до виконання розрахункових завдань
Поняття невизначеного інтеграла.
Функція F(x)первісною функції f(x) на проміжку (a;b), якщо F(x)диференційована на проміжку (a;b) і для всіх .
Якщо F(x) первісна функції f(x) на проміжку (a;b), то всяка інша первісна функції f(x) на цьому проміжку має вигляд , деС довільна стала.
Якщо F(x) первісна функції f(x) на проміжку (a;b) і С довільна стала, то множина всіх первісних функційf(x) називається невизначеним інтегралом функції f(x) на цьому проміжку і позначається символом . Отже, за означенням:
, якщо ,.
Основні властивості невизначного інтеграла.
;
;
;
, де m довільна стала;
.
При знаходженні невизначених інтегралів важливу роль виконує таблиця основних інтегралів, яку слід запам’ятати.
, де .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Огляд методів інтегрування.
Метод підстановки (заміна змінної).
а) Інтеграл записують у вигляді:
,
тоді:
.
У цьому разі їдеться про “введення функції під знак диференціала”: .
б) Інтеграл зображають у вигляді:
,
де функція має обернену функціюі для функціївідома первісна, тоді:
.
У цьому разі йдеться про “виведення функції з-під знака диференціала”: .
в) Для табличних інтегралів існують такі формули:
;
;
.
Приклад 1. .
Рішення.
.
Приклад 2. .
Рішення.
.
Приклад 3.
Рішення. .
Приклад 4. .
Рішення.
.
Приклад 5.
Рішення.
.
У прикладах (1-5) інтеграли обчислювалися користуючись інваріантністю формули інтегрування (підведенням під знак диференціала).
У прикладах (6-8) ми розглянемо метод заміни змінної.
Приклад 6.
Рішення.
.
Приклад 7. .
Рішення.
.
Приклад 8. .
Рішення.
.
2. Метод інтегрування частинами. Якщо та функції, що мають на деякому проміжку неперервні похідні, то справедлива формула інтегрування частинами:
.
Методом інтегрування частинами зручно обчислювати такі типи інтегралів:
а) інтеграли виду ,,, деP(x) багаточлен, а дійсне число. У цих інтегралах за u слід взяти множник P(x), а за вираз, що залишився;
б) інтеграли виду ,,,, деP(x) багаточлен. У цих інтегралах слід взяти за ;
в) інтеграли виду ,,,, деk і дійсні числа. В даному випадку після застосування формули інтегрування частинами утворюється лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла. Розв’язуючи це рівняння, знаходять інтеграл.
Приклад 9. .
Рішення.
.
Приклад 10. .
Рішення.
.
Приклад 11. .
Рішення.
.
Приклад 12. .
Рішення.
.
Приклад 13. .
Рішення.
.
Часто метод інтегрування частинами застосовується разом з методом заміни змінної.
Приклад 14. .
Рішення.
.
Розглянемо інтеграли, які при застосуванні формули інтегрування частинами утворюють лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла.
Приклад 15. .
Рішення.Позначимо шуканий інтеграл через I.
.
Таким чином, одержали рівняння відносно шуканого інтеграла I. Розв’язавши це рівняння:
,
одержимо: .
Такі інтеграли можна також розв’язувати методом заміни змінної (про це мова піде далі).
Розглянемо ще один зворотній інтеграл.
Приклад 16. .
Рішення. Як і в попередньому випадку позначимо шуканий інтеграл через I.
,
,
,
.