9 Факторный анализ

Социально-экономические объекты, как правило, являются очень сложными, многообразными, так как их формирование обычно обусловлено действием множества разнообразных факторов (причин). Поэтому для более полной характеристики таких объектов их обычно характеризуют набором разнообразных признаков (параметров), а результаты измерений совокупности этих признаков представляют в виде многомерных случайных величин. При исследовании таких многопараметрических объектов всегда встает вопрос: нельзя ли отбросить часть параметров или заменить их меньшим числом каких-либо функций от них, сохранив при этом всю информацию? Методы факторного анализа позволяют это сделать. Факторный анализ является одним из разделов современной многомерной статистики и широко используется в различных областях исследовательской деятельности.

9.1 Общие представления о факторном анализе

Факторный анализ – это общее название для класса методов, используемых, главным образом, для сокращения числа переменных и их обобщения.

Можно выделить две цели факторного анализа:

• определение взаимосвязей между переменными, (классификация переменных);

• сокращение числа переменных.

Фактор – латентная переменная, конструируемая таким образом, чтобы можно было объяснить корреляцию между набором переменных. В факторном анализе нет разграничения переменных на зависимые и зависимые.

Факторный анализ может быть:

разведочным — он осуществляется при исследовании скрытой факторной структуры без предположения о числе факторов и их нагрузках;

конфирматорным, предназначенным для проверки гипотез о числе факторов и их нагрузках.

Алгоритм осуществления факторного анализа:

Рис. 9.1 Алгоритм выполнения факторного анализа

Формулировка проблемы включает в себя четкое определение целей факторного анализа.

При подготовке матрицы исходных данных необходимо выбрать, что будет рассматриваться в качестве наблюдений, а что в качестве переменных. Переменные должны быть измерены в метрической шкале (в некоторых случаях рассматривается возможность использования порядковых переменных). Для достаточно надежных результатов анализа данные должны быть распределены нормально. Отсутствие нормальности ухудшает качество решения. Если переменные имеют существенные асимметрию и эксцесс, то ее можно однозначно преобразовать, введя новую, нормально распределенную переменную. Для получения обоснованных результатов объем выборки должен превышать число включенных в исследование переменных в 4-5 раз.

В случае, когда переменные измеряются в различных единицах, целесообразно их стандартизировать.

В качестве матрицы взаимосвязей обычно используется ковариационная или корреляционная матрица. Альтернативный вариант построения матрицы взаимосвязей базируется на использовании различных метрик, задающих «расстояния» между переменными.

Факторный анализ исследует внутреннюю структуру ковариационной или корреляционной матрицы системы признаков изучаемого объекта.

Пусть было проведено наблюдений (обследованообъектов, опрошенореспондентов и т.п.). В каждом из них измерены значенияпризнаков и получена выборка: значения случайных многомерных нормально распределенных величин:

где

Ясно, что эти значения случайных многомерных величин обусловлены какими-то объективными причинами, которые будем называть факторами. Предполагается, что число этих факторов всегда меньше (по крайней мере, не больше), чем число измеряемых параметров (признаков) изучаемого объекта. Эти факторы являются скрытыми (латентными), их нельзя непосредственно измерить и поэтому они представляются гипотетическими. Однако имеются методы их выявления, которые и составляют сущность факторного анализа.

В факторном анализе решаются следующие задачи:

1. Определить количество действующих факторов и указать их относительную интенсивность.

2. Выявить признаковую структуру факторов, т.е. показать, какими признаками объекта обусловлено действие того или иного фактора и в какой относительной мере.

3. Выявить факторную структуру изучаемых признаков объекта, т.е. показать долю влияния каждого из факторов на значение того или иного признака этого объекта.

4. Воссоздать в факторном координатном пространстве облик изучаемого объекта, используя вычисляемые значения факторов для каждого наблюдения исходной выборочной совокупности.