Лекция 6

Вопросы лекции:

6.1. Факторная модель при нормированных переменных.

6.2. Статистики факторного анализа.

6.3. Этапы выполнения факторного анализа.

6.1. Факторная модель при нормированных переменных

С математической точки зрения факторный анализ аналогичен множественному регрессионному анализу в том смысле, что каждая переменная выражена как линейная комбинация латентных факторов. Доля дисперсии отдельной переменной, принадлежащая общим факторам (и разделяемая с другими переменными) называется общностью. Ковариацию среди переменных описывают небольшим числом общих факторов, плюс характерный фактор для каждой переменной. Эти факторы явно не видны. Если переменные нормированы, то факторную модель можно представить следующим образом:

X_i = A_i1F₁ + A_i2F₂ + A_i3F₃ +……….+ A_imF_m + V_iU_i,

где X_i - i-я нормированная переменная;

A_ij - нормированный коэффициент множественной регрессии переменной i по общему фактору j;

F_i - общий фактор;

V_i - нормированный коэффициент регрессии переменной i по характерному фактору i;

U_i - характерный фактор для переменной i;

m - число общих факторов.

Характерные факторы не коррелируют между собой и с общими факторами.

Общие факторы в свою очередь также можно выразить линейными комбинациями наблюдаемых переменных:

F_i = W_i1X₁ + W_i2X₂ + W_i3X₃ + ………+ W_ikX_k ,

где F_i - оценка i-го фактора;

W_i - весовой коэффициент или коэффициент значения фактора;

k – число переменных.

Всегда можно подобрать веса так, чтобы первый коэффициент значения фактора объяснял наибольшую долю полной дисперсии. Затем отобрать второй набор весов так, чтобы второй фактор вносил наибольший вклад в остаточную дисперсию при условии, что он не коррелирует с первым фактором. Этот же принцип применяют для отбора дополнительных весов для дополнительных факторов. А это значит, что можно оценить факторы так, чтобы их значения, в отличие от значений исходных переменных не коррелировали. Более того, первый фактор объясняет наибольшую дисперсию в данных, второй фактор – вторую по величине дисперсию и т.д.

С факторным анализом связан целый ряд статистик.

6.2. Статистики факторного анализа

Критерий сферичности Бартлетта. Статистика, проверяющая гипотезу о том, что переменные в генеральной совокупности не коррелируют между собой. Другими словами, корреляционная матрица в совокупности является характерной матрицей; каждая переменная коррелирует сама с собой (r = 1), но не взаимосвязана с другими переменными (r = 0).

Корреляционная матрица. Матрица попарных корреляций r между всеми возможными парами переменных, включенных в анализ. Это симметричная, неотрицательно определенная матрица.

Общность. Доля дисперсии отдельной переменной, которую переменная делит с другими рассматриваемыми переменными. Это доля дисперсии, объясняемая общими факторами.

Собственное значение. Представляет полную дисперсию, объясняемую каждым фактором.

Факторные нагрузки. Линейные корреляции между переменными и факторами.

График факторных нагрузок. График исходных переменных, где по осям координат откладывают значения факторных нагрузок.

Матрица факторных нагрузок. Содержит факторные нагрузки всех переменных по всем выделенным факторам.

Значения фактора. Суммарные значения, определенные для каждого респондента по производным факторам.

Критерий адекватности выборки Кайзера-Мейера-Олкина. Коэффициент для проверки целесообразности выполнения факторного анализа. Высокие значения (от 0,5 до 1) указывают, что факторный анализ целесообразен. Малые значения (до 0,5) указывают, что факторный анализ неприемлем.

Процент дисперсии. Процент от полной дисперсии, приписываемый каждому фактору.

Остатки. Разница между наблюдаемыми корреляциями, приведенными в исходной корреляционной матрице, и вычисленными корреляциями, определенными из матрицы факторных нагрузок.

Графическое изображение критерия «каменистой осыпи». График зависимости собственных значений от числа факторов в порядке их убывания.