Ryadi_Novyy
.docРяди.
В цьому розділі розглядається розв’язання типових прикладів з теми «Ряди» (ряди числові, функціональні, Фур’є та їх застосування), надається список рекомендованої літератури [2, 3, 6, 9, 13, 16], пропонується 30 варіантів розрахунково-графічних завдань (РГЗ), які складаються із 12 прикладів. Перед виконанням варіанту РГЗ студент повинен вивчити відповідний теоретичний матеріал по цій темі і вміти відповісти на контрольні питання, які пропонуються.
Контрольні питання.
-
Дайте означення числового ряду. Який ряд називається збіжним, розбіжним?
-
Необхідна умова збіжності рядів.
-
Ознаки порівняння рядів з додатними членами.
-
Інтегральна ознака Коші.
-
Ознака Даламбера.
-
Радикальна ознака Коші.
-
Ознака збіжності ряду з довільними членами. Умовна та абсолютна збіжність.
-
Знакопереміжний ряд. Умова Лейбніця.
-
Функціональний ряд. Точка його збіжності.
-
Область збіжності функціонального ряду. Як використовують ознаку Даламбера та радикальну ознаку Коші для знаходження області збіжності функціональних рядів?
-
Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності степеневого ряду.
-
Ряди Тейлора та Маклорена.
-
Записати ряд Маклорена для таких функцій:
-
Означення ряду Фур’є. Теорема Діріхле.
-
Розкладання в ряд Фур’є парних і непарних функцій.
Розв’язування типових прикладів.
Приклад 1. Дослідити ряд на збіжність.
Розв’язання. Скористаємось необхідною ознакою збіжності, за якою, якщо ряд збігається, то . Але, якщо , то ряд розбігається. Обчислимо , з цього випливає, що ряд розбігається, так як не виконана необхідна умова збіжності.
Відповідь: ряд розбігається.
Приклад 2. Дослідити ряд на збіжність.
Розв’язання. Скористаємось інтегральною ознакою Коші:
якщо функція неперервна, додатна, не зростаюча для і для всіх , то справедливо наступне: 1) із збіжності невласного інтегралу випливає збіжність ряду; 2) із розбіжності невласного інтегралу випливає розбіжність ряду .
Треба зауважити, що нижньою межею інтегрування в інтегралі може бути будь-яке додатне число із області існування функції.
Для заданого ряду умови ознаки Коші виконуються. Дослідимо на збіжність відповідний ряду невласний інтеграл:
З цього випливає , що невласний інтеграл збігається, а , значить, і ряд збігається.
Відповідь: ряд збігається.
Приклад 3. Дослідити ряд на збіжність.
Розв'язання. Скористаємось ознакою порівняння в граничній формі: якщо існує скінченна границя , то ряди і з додатними членами поводять себе однаково (збігаються або розбігаються одночасно). Для порівняння часто використовують наступні ряди:
а)б) Для порівняння візьмемо ряд . Обчислимо границю:
,
якщо , а так як – збігається, то збігається і вихідний ряд.
Відповідь: ряд збігається.
Приклад 4. Дослідити ряд на збіжність.
Розв'язання. Скористаємось ознакою Даламбера: якщо для ряду з додатними членами існує скінченна границя , тоді: 1) якщо , то ряд збігається; 2) якщо , то ряд розбігається; 3) якщо , то ознака відповіді не дає, потрібні додаткові дослідження.
Обчислимо границю:
.
З цього випливає, що вихідний ряд розбігається.
Відповідь: ряд розбігається.
Приклад 5. Дослідити ряд на збіжність.
Розв'язання. Скористаємось радикальною ознакою Коші: якщо для ряду з додатними членами існує скінченна границя , тоді: 1) якщо , то ряд збігається; 2) якщо , то ряд розбігається; 3) якщо , то ознака відповіді не дає, потрібні додаткові дослідження.
Обчислимо границю:
.
З цього випливає, що вихідний ряд збігається.
Відповідь: ряд збігається.
Приклад 6. Дослідити ряд на збіжність.
Розв'язання. Заданий ряд є знакопереміжним. Скористаємось достатньою ознакою збіжності рядів з довільними членами. Складемо ряд із абсолютних величин вихідного ряду: . Отриманий ряд є ряд з додатними членами, тому можна скористатись ознакою порівняння в граничній формі. Для порівняння візьмемо збіжний ряд і обчислимо границю:
.
Таким чином, ряд, складений із абсолютних величин вихідного ряду, збігається, а тому вихідний ряд збігається абсолютно.
Відповідь: ряд збігається абсолютно.
Приклад 7. Дослідити ряд на збіжність.
Розв'язання. Заданий ряд є знакопереміжним. Перевіримо необхідну умову збіжності ряду. Для цього знайдемо . Необхідна умова не виконується, тому що , а, значить, ряд розбігається.
Відповідь: ряд розбігається.
Приклад 8. Дослідити ряд на збіжність.
Розв'язання. Заданий ряд є знакопереміжним. Складемо ряд із абсолютних величин вихідного ряду: . Отриманий ряд є рядом з додатними членами, скористаємось ознакою порівняння в граничній формі. Для порівняння візьмемо розбіжний ряд . Обчислимо границю: , тому ряд із абсолютних величин розбігається. Це означає, що вихідний ряд не є абсолютно збіжним. Перевіримо вихідний ряд на умовну збіжність. Скористаємось ознакою Лейбніця: якщо члени ряду , задовольняють умовам: 1) 2) , тоді ряд збігається і його сума .
Перевіримо виконання умов ознаки Лейбніця.
Перша умова: виконується тому, що , отже для будь-якого .
Друга умова: теж виконується, тому за ознакою Лейбніця ряд збігається. Так як абсолютної збіжності вихідний ряд немає, то він збігається умовно.
Відповідь: ряд збігається умовно.
Приклад 9. Знайти область збіжності функціонального ряду .
Розв'язання. Складемо ряд із абсолютних величин вихідного ряду: , так як , і скористаємось радикальною ознакою Коші. Обчислимо границю . За ознакою Коші цей ряд збігається, коли , тобто, коли .
Перевіримо цей ряд на збіжність, коли , тобто при . Отриманий при числовий ряд має вигляд: . Цей ряд розбігається, так як для нього не виконується необхідна умова збіжності. Отже, область збіжності вихідного ряду є .
Відповідь: .
Приклад 10. Знайти область збіжності функціонального ряду .
Розв'язання. Скористаймось ознакою Даламбера для ряду, складеного із абсолютних величин вихідного ряду. Обчислимо границю:
.
Для всіх х, що задовольняють нерівність , ряд розбігається, а для всіх х, що задовольняють нерівність , ряд збігається, тобто для . Перевіримо на збіжність ряд в точках і .
Числовий ряд, відповідний : . Цей ряд збігається за ознакою Лейбніця.
Числовий ряд, відповідний , має вигляд: . Цей ряд розбіжний. Отже область збіжності вихідного ряду [1; 5).
Відповідь: [1; 5).
Приклад 11. Знайти радіус та область збіжності ряду . Розв'язання. Заданий функціональний ряд є степеневим. Знайдемо його радіус збіжності за формулою Таким чином,
.
Вихідний ряд збігається для всіх х, що задовольняють нерівність , або . Перевіримо ряд на збіжність в точках, які є кінцями інтервалу збіжності.
Числовий ряд, відповідний , має вигляд: і збігається. Отже, є точкою збіжності ряду.
Числовий ряд, відповідний , має вигляд і теж збігається, більш того, абсолютно. Отже, і є точкою збіжності ряду. Таким чином, область збіжності вихідного ряду є .
Відповідь: , .
Приклад 12. Розкласти функцію в ряд Тейлора в околі точки і вказати область збіжності ряду.
Розв'язання. Відомо, що
а областю збіжності цього ряду є інтервал . Перетворимо задану функцію таким чином: . Замінимо та одержимо:
.
Отриманий ряд збігається, якщо, або . Отже , а область збіжності - .
Відповідь: , .
Приклад 13. Розкласти функцію в ряд Маклорена і вказати область збіжності ряду.
Розв'язання. Відомо, що:
.
Замінимо та одержимо: ,.
Відповідь: , .
Приклад 14. Обчислити наближено з точністю до .
Розв'язання. Використаємо розкладання в ряд Маклорена функції :
, .
Тоді: , .
.
Задана точність виконана, так як .
Відповідь:.
Приклад 15. Знайти чотири перших, відмінних від нуля, члени розкладу в степеневий ряд розв’язання диференціального рівняння:
Розв'язання. Припустимо, що розв'язок цього рівняння може бути у вигляді де
Розв'яжемо це рівняння відносно : де Знайдемо : .
Тоді: звідки
При необхідності можна продовжувати диференціювання попередньо отриманого рівняння далі. Таким чином,
Відповідь:
Приклад 16. Розкласти в ряд Фур'є періодичну функцію періоду , задану на проміжку :
Графік цієї функції зображено на рис.1. Якщо функція має період , то її ряд Фур'є має вигляд: Рис.1.
де
Розв'язання. У нашому випадку . Обчислимо коефіцієнти ряду Фур'є: . Таким чином:
Отже,
.
Відповідь:
.
Приклад 17. Розкласти в ряд Фур'є за синусами функцію , задану на проміжку .
Розв'язання. Для розкладання в ряд Фур'є неперіодичних функцій, заданих у певному скінченому проміжку, її періодично продовжують. Отриману в результаті періодичну функцію розкладають в ряд Фур'є. Цей ряд дає шукане розкладання, так як на заданому проміжку обидві функції (вихідна та періодично продовжена) співпадають.
Продовжимо задану функцію на проміжок непарно, а на всю числову пряму - періодично з періодом . Графік такої функції зображено на рис.2 . Ряд Фур'є за синусами має вигляд: де У нашому випадку . Тоді: Рис.2.
Отже,
.
Відповідь:
Завдання 1. Дослідити ряд на збіжність:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .
Завдання 2. Дослідити ряд на збіжність:
1..
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .
Завдання 3. Дослідити ряд на збіжність:
1. .
2. .