нефти и газа

ти. Найти функцию распределения и плотность вероятности случай-

ной величины , равной расстоянию от точки до центра круга.

7.27. Автобусы движутся по маршруту с интервалом 10 мин. Время ожидания T автобуса на остановке имеет равномерное распределение.

Найти: а) функцию распределения и плотность вероятности; б) сред-

нее время ожидания автобуса и среднее квадратическое отклонение этого времени; в) вероятность того, что время ожидания автобуса не превысит 4 минут.

7.28. Правитель острова Хазерталь, решив ограничить численность женского населения в своем государстве, издал декрет, состоящий из двух пунктов:

1)каждой семье разрешается обзавестись не более чем одной дочерью. После рождения девочки дальнейшее увеличение семьи не разрешается;

2)общее количество детей в семье не может превышать четы-

рех.

Приняв вероятность рождения мальчика равной 0,5, выяснить,

какую часть населения острова по прошествии длительного времени будут составлять мужчины.

7.29. Решить предыдущую задачу после отмены правителем второго пункта указа.

80

8. Специальные виды распределений

екоторые частные виды распределения дискретных и непре-

Нрывных случайных величин особенно часто встречаются в при-

кладных задачах теории вероятностей. Для вычисления их основных числовых характеристик удобно пользоваться готовыми формулами.

Рассмотрим основные виды дискретных распределений.

Биномиальное распределение

Случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с па-

раметрами (n, p), (0 < p < 1, n ≥ 1), если она принимает значение ξ = k

с вероятностью

P k Cnk pk 1 p n k , k = 0, …, n.

Математическое ожидание и дисперсия биномиально распреде-

ленной случайной величины ξ определяются выражениями: Mξ = np;

Dξ = npq, где q = 1 – p.

Геометрическое распределение

Случайная величина ξ имеет геометрическое распределение с

параметром р, (0 < p < 1), если она принимает значение ξ = k с веро-

ятностью

P{ξ = k} = p(1– p)k; k = 0, 1, 2, … .

Геометрически распределенная случайная величина имеет харак-

81

Распределение Пуассона

Случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с пара-

Опишем теперь важнейшие непрерывные распределения слу-

чайных величин.

Равномерное распределение

Случайная величина ξ имеет на интервале [a; b] равномерное распределение, если ее плотность вероятности постоянна на этом ин-

тервале (рис. 17), т.е.

Показательное (экспоненциальное) распределение

Случайная величина ξ имеет показательное распределение с

параметром λ, (λ > 0), если ее плотность вероятности (рис. 18) опре-

деляется зависимостью

Нормальное распределение

Случайная величина ξ имеет нормальное (гауссовское) распре-

деление с параметрами (a; 2), если ее плотность вероятности опре-

деляется выражением:

( x a)2

f ( x) 1 e 2 2 , x ; . 2

Функция распределения нормально распределенной случайной величины представляется интегралом, не выражаемым через элемен-

тарные функции:

Параметр a нормального распределения имеет смысл математи-

ческого ожидания случайной величины ξ: Mξ = a; параметр 2 пред-

ставляет ее дисперсию: Dξ = 2. Медиана нормального распределения

83

совпадает с математическим ожиданием: Me = Mξ = a; асимметрия равна нулю: A = 0.

График функции f (x) носит название гауссовой кривой (рис.19).

Там же справа представлена банкнота в 10 марок ФРГ, которая ис-

пользовалась до введения евро. На банкноте была изображена гауссо-

ва кривая и ее первооткрыватель – великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855).

f (x)

0 a x

Рис. 19. Нормальное (гауссовское) распределение

Для краткости нормальное распределение с параметрами (a; 2)

обозначают N(a; 2). Если случайную величину ξ нормировать, т.е.

вычесть из нее постоянную величину a и разделить на , то получен-

ная случайная величина a будет иметь распределение N(0;1) –

так называемое, стандартное нормальное распределение.

Функция распределения стандартного нормального распределе-

ния табулирована и обозначается через Fo(x):

Эта вероятность может быть выражена через табулированную функцию Лапласа (см. Приложение)

аналогичным образом:

Функция Лапласа (x) изображена на рис. 20.

(x)

N (0,1)

0,5

(x)

Рис.20. Функция Лапласа

Отметим важные свойства функции Лапласа:

1.( – x) = – (x), т.е. (x) – нечетная функция.

2.(x) – монотонно возрастающая функция.

85

Полезно запомнить следующие важные значения функции Лапласа:

Правило 3 . Для нормально распределенной случайной вели-

чины попадание в интервал [a – 3 ; a + 3 ] представляет собой прак-

тически достоверное событие. Его вероятность близка к единице:

P{a 3 a 3 } 2 (3) 0,9973.

1(x) легко выражаются одна через другую:

Fo(x) = (x) + 0,51(x) = 2 (x)

Помимо перечисленных выше функций, иногда используют так называемую функцию ошибок:

которую также легко связать с функцией Лапласа:

erf ( x) 2 ( x 2)

86

ПРИМЕР 1. Контрольное задание (тест) состоит из 10 вопросов,

предусматривающих ответы «да» и «нет». Тестируемый решил на каждый вопрос давать ответ наудачу. Найти: а) среднее число пра-

вильных ответов; б) вероятность того, что он ответит правильно на все вопросы; в) вероятность того, что он ошибется не более двух раз.

Решение. В данном примере проводится 10 испытаний Бернул-

ли с вероятностью успеха в каждом p = 1/2. Следовательно, случай-

ная величина ξ – количество правильных ответов – подчиняется би-

номиальному закону распределения с параметрами n = 10; p = 1/2.

раз, т.е. два раза или меньше, равна вероятности P{ξ 8} дать 8 или более правильных ответов, и может быть найдена двумя способами:

либо через вероятность противоположного события

(Первый способ, разумеется, предпочтительней, т.к. требует нахож-

дения суммы лишь трех слагаемых при k = 8, k = 9 и k = 10).

ПРИМЕР 2. Случайная величина ξ – напряжение в электриче-

ской сети – изменяется по нормальному закону с параметрами a =

88

= 220 В и = 3 В. Определить вероятность того, что случайная вели-

чина ξ отклонится от математического ожидания не более, чем на 5 В.

Решение. Случайная величина ξ N (220; 32). Отклонение

случайной величины ξ от математического ожидания возможно в обе

стороны, поэтому нужно вычислить вероятность

найдено по таблице функции Лапласа.

Задачи к разделу 8

8.1. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке

[1; 13]. Написать выражение для её плотности вероятности и функции распределения и изобразить их графически. Вычислить, не пользуясь готовыми формулами, величины Mξ , Dξ и . Найти вероятность по-

падания случайной величины ξ в отрезок [4; 27].

8.2. Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид

( x 2)2

18 .

Найти коэффициент k и параметр . Написать вид функции распреде-

ления F(x). Найти: F(–1,3); F(4,1); вероятность попадания случайной величины в промежуток [2; 5].

8.3. Случайная величина распределена по нормальному закону с па-

раметрами a и . Написать выражение для плотности вероятности и

89