нефти и газа
.pdfhttps://new.guap.ru/i04/contacts |
СПБГУАП |
1.15. Сколькими способами можно рассадить 8 кроликов в четыре разные клетки? Рассмотреть случаи: а) все кролики одинаковы (т.е
имеет значение лишь их количество, попавшее в каждую из клеток);
б) кролики различаются по именам.
1.16. В буфете университета продаются пирожные 4 видов: «Наполе-
он», «Эклер», «Песочное» и «Корзиночка». Студенка решила вместо обеда купить 7 пирожных. Сколькими способами она может это сде-
лать?
1.17.Сколько нужно словарей, чтобы переводить с любого из пяти языков на любой другой из них?
1.18.Какой коэффициент окажется перед слагаемым, содержащим множитель a16b4 , если раскрыть скобки в выражении (2a b)20 ?
1.19.В урне лежит 3 красных, 6 черных и 7 белых шаров. Сколькими способами можно вынуть 5 шара. (Способы отличаются количеством выбранных шаров того, или иного цвета).
1.20.Группа из 25 студентов сдает экзамен по математике. Сколько существует исходов экзамена. (Рассмотреть задачу с точки зрения де-
каната, для которого нет различия между студентами, и с точки зре-
ния группы).
1.21. Студент решил позвать одну из своих 5 подруг на концерт и по-
слал каждой из них по письму с приглашением? Сколько вариантов похода на концерт есть у студента?
10
https://new.guap.ru/i04/contacts |
СПБГУАП |
2.Алгебра событий
Событие, относящиеся к результату некоторого испытания (экс-
перимента), которое при выполнении некоторого комплекса
условий может либо произойти, либо не произойти, называется слу-
чайным событием.
Событие, которое в результате испытания:
–обязательно наступит, называется достоверным событием;
–никогда не может наступить, называется невозможным со-
бытием.
Случайные события обычно обозначаются латинскими буквами
A, B, C, D, …; достоверные события – , невозможные – .
Суммой двух событий A и B называется событие C = A + B,
(или иначе, C = A B), которое произойдет, если произошло хотя бы одно из этих событий: A или B (рис. 1а).
Произведением двух событий A и B называется событие
C = A B, (или C = A B), которое произойдет, если произошли од-
новременно оба события A и B (рис. 1б).
Разностью двух событий A и B называется событие
C = A – B (или C = A \ B), которое произойдет, если произошло собы-
тие A, но не произошло событие B (рис. 1в).
11
https://new.guap.ru/i04/contacts |
СПБГУАП |
A |
|
B |
|
A |
|
B |
|
A |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1а. A + B |
Рис. 1б. A B |
Рис. 1в. A \ B |
Событие A = \ A называется противоположным событию
A. Оно наступает тогда и только тогда, если не происходит событие A
(рис. 2а).
Если каждое появление события A влечет за собой появление события B, то говорят, что из A следует B, и пишут: A B, или
A B (рис. 2б). Если одновременно имеют место два соотношения A B и B A, то события A и B называют равносильными и за-
писывают A B.
События A и B называются несовместными в данном испы-
тании, если они не могут произойти одновременно, т.е. A B = .
|
A |
|
B |
А |
|
А |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Рис. 2б. A B |
Рис. 2а. Событие A |
Полной группой событий называются такие события А, В,
С, …, что при всякой реализации заданного комплекса условий обя-
зательно происходит хотя бы одно из них, то есть А+ В + С + … = .
12
https://new.guap.ru/i04/contacts |
СПБГУАП |
Замечание 1. В соответствии с данным определением события в полной группе могут быть совместными. В литературе встречается определение полной группы событий, включающее требование об их несовместности.
ПРИМЕР 1. Бросается игральная кость. Событие А ‒ выпало четное число очков, событие В ‒ выпало не более трех очков, собы-
тие С ‒ выпало пять очков. Образуют ли эти события полную группу?
Решение. Имеем
А = {2, 4,6}; В = {1, 2,3}; С = {5}
Тогда А+ В + С = {1,2,3,4,5,6}. То есть события А, В, С образуют полную группу. При этом А и В ‒ совместные события.
Замечание 2. Действия над событиями могут быть проиллюст-
рированы с помощью диаграмм Bенна, которые и представлены на рис.1 и 2.
ПРИМЕР 2. Пусть А, В и С – события, означающие попадание точки соответственно в области А, В и С (рис. 3а). Что означает событие
А В+ С?
|
B |
B |
|
а) |
б) |
||
|
A A
C C
Рис. 3. Иллюстрации к примеру 2
13
https://new.guap.ru/i04/contacts |
СПБГУАП |
Решение. Событие А В+ С означает попадание в область
(А В) С, которая заштрихована на рис. 3б.
ПРИМЕР 3. Староста студенческой группы факультета АиВТ представил в деканат отчет, в котором говорилось: «В группе учатся
27 студентов, из которых 15 юношей и 12 девушек. Не имеют задол-
женности по математике 18 студентов, из них 9 юношей. Занимаются спортом 17 человек, среди которых 10 юношей и 6 успевающих. Трое юношей не имеют задолженностей и не занимаются спортом». Одна-
ко, хорошо знающий математику декан факультета, тут же указал старосте на ошибку в подсчетах. В чем состояла ошибка старосты?
Решение. Изобразим группу студентов на диаграмме Венна.
Заштрихованная часть представляет юношей. Длинной пунктирной линией ограничена часть студентов без задолженности по математи-
ке, коротким пунктиром ‒ спортсмены. Соответствующие области за-
нумерованы. Например, область (1) ‒ юноши, не сдавшие математику и не занимающиеся спортом, (5) ‒ девушки, спортсменки и без за-
долженностей. Таким же образом будем обозначать количество сту-
дентов соответствующей категории.
Согласно докладу старосты: |
|
(1) + (2) + (4) + (6) = 15 |
(всего юношей) |
(3) + (5) + (7) + (8) = 12 |
(всего девушек) |
(2)+ (4) = 9 (юноши, сдавшие математику)
(3)+ (5) = 9 (девушки, сдавшие математику)
(4)+ (6) = 10 (юноши ‒ спортсмены)
(5)+ (7) = 7 (девушки ‒ спортсмены)
14
https://new.guap.ru/i04/contacts |
СПБГУАП |
(4) + (5) = 6 (успевающие спортсмены)
(2) = 3 (юноши ‒ не спортсмены и без долга)
|
(2) |
(3) |
|
(1) |
(4) |
(5) |
(8) |
|
|
||
|
(6) |
|
(7) |
|
|
|
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 3
Из последних шести соотношений легко находится, что (4) = 6,
(6) = 4, (5) = 0, (7) = 7, (3) = 9. Подставив их в первые два равенства,
получим
(1) + 3 + 6 + 4 = 15 |
|
(1) |
= 2 |
9 + 0 + 7 + (8) = 12 |
|
(8) |
= ‒ 4. |
Получено противоречие. Из доклада старосты следует, что коли-
чество девушек, имеющих долг по математике и не занимающихся спортом, отрицательно. Староста, действительно, ошибся.
Задачи к разделу 2
2.1. В семье четверо детей. Совместны ли события: A ‒ в семье не ме-
нее двух сыновей; B ‒ в семье не менее двух дочерей? Образуют ли эти события полную группу?
2.2.Монета бросается пять раз. Будут ли несовместными события:
A ‒ не менее трех раз выпал орел;
B ‒ решка выпала, по крайней мере, два раза?
Образуют ли эти события полную группу?
15
https://new.guap.ru/i04/contacts |
СПБГУАП |
2.3. Бросаются две игральные кости. Будут ли несовместными собы-
тия:
A ‒ хотя бы на одной кости выпало не более четырех очков.
B ‒ сумма выпавших очков не менее одиннадцати.
Образуют ли события полную группу?
2.4. Какие из написанных ниже утверждений верны для призвольных событий A, B, C:
|
ABC AB + AC + BC, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
б) ABC A + B, |
||||||||||||||||||||||
|
AB + AC + BC A + B + C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в) |
г) ( A B)C |
|
A BC , |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
|
|
|
, |
||||||||
д) |
|
|
|
|
|
|
|
A B |
, |
A B C |
ABC |
||||||||||||
A |
B |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
з) ( A B)C AC BC . |
|||||||||||||||||
ж) |
|
|
|
|
|
A B , |
|||||||||||||||||
AB |
2.5. Судно имеет одно рулевое устройство, 4 котла и 2 турбины. Со-
бытие А означает исправность рулевого устройства, Вk исправность k-го котла (k = 1, 2, 3, 4), событие Сi исправность i-той турбины
(i = 1, 2). Событие D судно управляемо обеспечивается при ис-
правности рулевого управления, хотя бы одного из котлов и хотя бы одной турбины. Выразить событие D через события А, Вk и Сi.
2.6. На уборку картошки поехали 92 студента. Большинство из них для дневного перекуса взяло с собой бутерброды, но мамы некоторых
(самых счастливых) студентов вместо бутербродов испекли им пи-
рожки с мясом. Известно, что у 47 человек были с собой бутерброды с колбасой, у 38 – с сыром, у 42 – с ветчиной. Бутерброды и с сыром,
и с колбасой взяли 28 студентов; с колбасой и с ветчиной – 31 сту-
дент; с сыром и с ветчиной – 26 студентов. Все три вида бутербро-
16
https://new.guap.ru/i04/contacts |
СПБГУАП |
дов взяли 25 человек. Сколько было чадолюбивых мам, которые ис-
пекли своим детям пирожки?
2.7. В группе аспирантов каждый знает хотя бы один иностранный язык. Шестеро знают английский, шестеро – немецкий, семеро – французский. Четыре аспиранта знают английский и немецкий языки,
трое – немецкий и французский, двое ‒ английский и французский.
Один человек знает все три языка. Сколько аспирантов в группе?
Сколько из них знают только английский язык; только французский?
2.8. Электрические цепи составлены по схемам, изображенным на рис. 4 а), б), в), г). Событие Аk (k = 1, 2) элемент ak исправен, собы-
тие Вi (i = 1, 2) элемент bi исправен, событие С исправен элемент c. Для каждой из схем записать событие Е по цепи проходит ток, а
также противоположное событие E (цепь разорвана).
a) |
a1 |
b1 |
б) |
a1 |
b1 |
|
|
|
|
|
с |
|
a2 |
b2 |
|
a2 |
b2 |
в) |
|
г) |
b1 |
|
|
a1 |
|
||
|
|
с |
||
с |
b1 |
|
||
a1 |
b2 |
|||
|
a2 |
|||
|
|
|
a2
Рис. 4. К задаче 2.8
17
https://new.guap.ru/i04/contacts |
СПБГУАП |
2.9. Деканат решил проконтролировать посещение лекции по высшей математике четырьмя нерадивыми студентами. Каждый из них на выбранной для контроля лекции может либо присутствовать, либо не нет. Рассматриваются события:
A на лекции был ровно один из 4-x студентов;
B на лекции был хотя бы один из этих студентов;
Cна лекции было не менее 2-х студентов;
Dна лекции было ровно 2 студента;
Eна лекции было ровно 3 студента;
Fна лекции были все 4 студента.
Описать события:
1) A + B; 2) AB; 3) B + C; 4) BC; 5) D + E + F; 6) BF.
Совпадают ли события BF и CF ; BC и D ?
2.10. Нефтеналивной порт имеет 5 причалов. События: A занято четное число причалов, В занят хотя бы один причал. Описать со-
бытия A + B и AB.
2.11. Что представляют собой события ABС и A + B + С, если
а) |
A B и A C, |
б) B C и A B, в) B C и A C? |
2.12. При каких условиях справедливы соотношения: |
||
а) |
A + B = AB, |
б) A + A = A, |
в) A A = A, |
г) (A + B) – B = A ? |
2.13. Событие A состоит в том, что при сдаче экзамена по математике хотя бы один из трех студентов получил положительную оценку. Что представляет собой событие A ?
18
https://new.guap.ru/i04/contacts |
СПБГУАП |
2.14. Связь между вычислительным центром и управлением магист-
ральных трубопроводов осуществляется по трем каналам. По каждо-
му каналу может быть передан сигнал Ai , (i 1,2,3) о нормальной ра-
боте или Ai ‒ об отказе. При передаче сигнал может быть искажен,
поэтому информация считается верной только в том случае, если хотя бы два канала передали одинаковый сигнал. Выразить события: B ‒
принят сигнал о нормальной работе объекта; C ‒ принят сигнал об отказе.
2.15. Бросается игральная кость. Рассматриваются события: A – выпа-
ло четное число очков; B – выпало нечетное число очков; C – выпало число очков, большее трех. Описать события: (A + B) C, A C + + B,
B C + A, (A + C) B.
2.16. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Определены собы-
тия: А – вынута дама; В – вынута карта черной масти; С – вынута да-
ма пик. Дать описание событий: (A+B) C, A C +B, B C + A, (A +C) B.
2.17. У студента в тумбочке вперемешку лежат серые и черные носки.
Утром, собираясь в темноте на первую пару, он наудачу берет два носка. Пусть определены события: А – вынуты носки разных цветов,
В – ровно один из вынутых носков черный, С – вынуты носки одного цвета, D ‒ оба вынутых носка серые, E ‒ хотя бы один из вынутых носков серый, F ‒ не вынуто ни одного черного носка. Описать со-
бытия: (A + B) E, A C + F, B F ‒ D + A, A + B E, (B + F) C, (B ‒ D)
(E ‒ F). В каких из перечисленных случаев студент сможет поехать учиться? (В носках различного цвета на занятиях в университете по-
являться не принято).
19