нефти и газа

Рис. 8. К задаче 4.15

4.16. Гардеробщица выдала номерки четырем джентльменам, сдав-

шим свои цилиндры, но затем перепутала головные уборы и повесила их наугад. Найти вероятности событий:

A – каждый джентльмен получит свой цилиндр;

B – ровно три джентльмена получат свой цилиндр;

C – ровно два человека получат свой головной убор;

D – ровно один получит свой цилиндр;

E – никто не получит своего цилиндра.

4.17. Какое из двух событий более вероятно: событие А – при одно-

временном бросании 4 игральных костей появится хотя бы одна

«единица» или событие В – при 24 бросаниях двух костей хотя бы один раз выпадут две «единицы»?

4.18. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет «орел». Определить вероятности выигрыша для каж-

дого игрока.

4.19. Три человека по очереди подбрасывают монету. Тот, у кого раньше выпадет «решка», выигрывает. Какова вероятность выигрыша каждого из игроков?

40

4.20.Двое поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у

кого раньше выпадет «шестерка». Определить вероятности выигрыша для первого и для второго игроков.

4.21.Вероятность получения студентом Н.Ч. положительной оценки на экзамене равна 0,2. Сколько пересдач потребуется студенту Н.Ч.

для того, чтобы сдать экзамен с вероятностью, большей 0,8?

4.22. Студент может сдать экзамен по математике с вероятностью 0,5.

Если он воспользуется шпаргалкой, то его шансы повысятся до 0,7.

Однако с вероятностью 0,3 шпаргалка будет обнаружена, и студента с экзамена удалят. Звонок другу повысит вероятность сдачи до 0,8. Од-

нако в этом случае с вероятностью 0,25 он будет застигнут за этим неблаговидным занятием, а на пересдаче его шансы понизятся в два раза. Как лучше поступить студенту?

4.23. В целях экономии государственных средств Иван-царевич ре-

шил, что он должен жениться на девушке, день рождения которой совпадает с его днем рождения. Сколько девушек ему придется опро-

сить, чтобы среди них оказалась хотя бы одна потенциальная невеста с вероятностью не менее 0,5?

41

5. Формула полной вероятности. Формула Байеса

сли событие А может наступить только при появлении одного из Енесовместных событий (гипотез) Н1, Н2, …, Нn, образующих полную группу, то вероятность события А вычисляется по формуле

полной вероятности:

n

P( A) P(Hi )P( A / Hi )

i 1

где Р(Нi) – вероятность гипотезы Нi (очевидно, что должно выпол-

n

нятся равенство P(Hi ) 1 ). Вероятность Р(А/Нi) представляет со-

i 1

бой условную вероятность наступления события А, если гипотеза Нi

верна.

С формулой полной вероятности связана формула Байеса, по-

зволяющая «переоценить» вероятности гипотез Н1, Н2, …, Нn, если известно, что в результате опыта событие А произошло. А именно,

если вероятности гипотез до опыта (априорные вероятности) были

Р(Н1), …, Р(Нn), а в результате опыта произошло событие А, то ус-

ловные вероятности гипотез (апостериорные вероятности) мо-

гут быть найдены по формулам:

42

где вероятность события А находится по формуле полной вероятно-

сти:

n

P( A) P(Hi )P( A / Hi ) .

i 1

(При этом, поскольку события Н1, Н2, …, Нn несовместны и образу-

ПРИМЕР 1. В одной урне лежат 6 белых и 4 черных шара, в

другой – 4 белых и 3 черных. Из 1-й урны наудачу переложили во 2-

ую урну один шар, а после перемешивания из 2-ой урны наудачу дос-

тали один шар, который оказался белым. Какова вероятность: а) что из первой урны во вторую был переложен белый шар? б) что выну-

тый из 2-ой урны белый шар первоначально находился в первой ур-

не?

Рис. 9. К примеру 1

Решение. а) Пусть событие А – из второй урны вынут белый шар. Рассмотрим две гипотезы: гипотеза Н1 – из первой урны был пе-

реложен белый шар, гипотеза Н2 – был переложен черный шар. Вы-

43

В случае выполнения гипотезы Н1 во второй урне оказываются 5 бе-

лых и 3 черных шара, поэтому условная вероятность вынуть белый

шар из второй урны равна P( A / H1) 5 . При реализации гипотезы Н2

8

во второй урне оказываются 4 белых и 4 черных шара, и условная ве-

роятность вынуть белый шар равна P( A / H2 ) 84 12 .

По формуле полной вероятности получаем:

P( A) P(H1)P( A / H1) P(H2 )P( A / H2 ) 4023 .

Теперь по формуле Байеса можно найти вероятность гипотезы

Н1 (из 1-й во 2-ую урну был переложен белый шар) при условии, что произошло событие А (из второй урны вынут белый шар):

б) Для нахождения вероятности того, что вынутый белый шар первоначально находился в первой урне, удобно считать, что на всех белых шарах в первой урне поставлена метка (рис. 9). Рассмотрим два несовместных события: B1 – из второй урны вынут белый шар с мет-

кой, B2 – вынут белый шар без метки. Тогда событие А (из 2-й урны вынут белый шар) представляет собой сумму событий B1 и B2:

A B1 B2. В задаче требуется найти условную вероятность события

B1 при осуществлении события А. Имеем по формуле Байеса:

44

P(B1 / A) P(B1 A) P(B1) .

P( A) P( A)

Вероятность события А была найдена выше. Вероятность собы-

тия B1 найдем по формуле полной вероятности:

P(B1) P(H1)P(B1 / H1) P(H2 )P(B1 / H2 ) .

Здесь, по-прежнему, P(H1) 53 , P(H2 ) 25 . Заметим, что при

выполнении гипотезы Н1 во второй урне оказывается 4 белых шара без метки, один ‒ с меткой и 3 черных шара, поэтому условная веро-

ятность P(B1 / H1) 18 . При выполнении гипотезы Н2 во второй урне

оказываются 4 белых шара без метки и 4 черных шара, поэтому ус-

ловная вероятность P(B1 / H2 ) 0. В результате получаем:

P(B1) 53 81 25 0 403 .

Теперь по формуле Байеса может быть найдена искомая вероят-

ность того, что вынутый белый шар первоначально лежал в первой урне, т.е. произошло событие B1 при условии А:

ПРИМЕР 2. Фермер поручил двум охотникам застрелить волка,

пообещав им в случае успеха 35000 рублей. Первый, более опытный,

охотник попадает в зверя с вероятностью 0,9, а второй – с вероятно-

стью 0,6. Охотники встретили волка и одновременно выстрелили.

45

Волк был поражен одной пулей. Как охотники должны поделить премию?

Решение. Пусть событие А – волк поражен одной пулей. Рас-

смотрим две гипотезы: гипотеза Н1 – попал первый охотник, гипоте-

за Н2 – попал второй охотник. Событие А может быть выражено через события Н1 и Н2 следующим образом:

AH1H 2 H2 H1.

Сучетом несовместности двух слагаемых и независимости собы-

тий Н1 и Н2 по формулам сложения и умножения вероятностей на-

ходим:

P( A) P(H1)P(H 2 ) P(H2 )P(H1) 0,9 0, 4 0,1 0,6 0, 42 .

Условная вероятность события А (одно попадание) при осущест-

влении гипотезы Н1 (попадание первого охотника) равна вероятно-

сти промаха второго охотника: P( A / H1) P(H 2 ) 0,4 . Аналогично,

условная вероятность события А при осуществлении гипотезы Н2

равна вероятности промаха первого охотника: P( A/ H2 ) P(H1) 0,1.

Тогда по формуле Байеса

46

Таким образом, первый охотник должен получит 6/7 частей премии,

или 30000 рублей; второй охотник должен получить 1/7 часть пре-

мии, то есть 5000 рублей. (Такой, на первый взгляд, не вполне спра-

ведливый дележ связан с тем, что вероятность попадания 1-го охот-

ника велика, так что одно попадание, скорее всего, именно на его счету. Если бы попаданий было два, премию надо было делить по-

ровну).

Задачи к разделу 5

5.1. Имеются два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 бе-

лых и 1 черный шар, во втором – 1 белый и 4 черных. Наудачу выби-

рают ящик и вынимают из него шар. Какова вероятность, что выну-

тый шар окажется белым?

5.2. Приборы зафиксировали утечку газа на участке газопровода, 40%

которого расположено под землей и 60% – под водой. Вероятность в течение суток обнаружить утечку на подземном участке равна 0,7, а

на подводном – 0,8. Какова вероятность, что утечка газа будет обна-

ружена не позже, чем через сутки?

5.3. В воскресенье рано утром Петя решил пригласить одну из своих подруг покататься на лыжах. Маша и Вера согласятся на раннюю прогулку с вероятностью 0,1, а Лена – с вероятностью 0,05. Петя слу-

чайным образом набрал номер одной из трех своих подруг, и получил резкий отказ. Какова вероятность, что он позвонил Лене?

5.4. В семье три дочери – Маша, Люба и Наташа – договорились, что каждый вечер одна из них будет мыть посуду. Старшая дочь, Маша,

47

моет посуду 3 раза в неделю, а остальные девочки – по два раза. Ве-

роятность, что Маша разобьет тарелку, равна 0,02. Для Любы и На-

таши эти вероятности соответственно равны 0,03 и 0,04. Родители не знают, кто мыл посуду вечером, но услышали звон разбитой тарелки.

Помогите родителям выяснить, какая из дочерей с наибольшей веро-

ятностью мыла посуду в тот вечер.

5.5. Два завода поставляют трубы для скважин. Завод А поставляет

30% общего количества труб, и из них 95% стандартных. Завод В по-

ставляет 70% труб, а стандартных среди них 90%. Взятая наудачу труба оказалась нестандартной. Какова вероятность, что она изготов-

лена на заводе А?

5.6. Участок нефтепровода состоит из линейной части и резервуарно-

го парка. Каждая из составляющих необходима для работы всего уча-

стка. Вероятность безотказной работы в течение времени T линейной части равна 0,9, а резервуарного парка – 0,8. Отказы в двух состав-

ляющих участка: а) несовместны; б) независимы. Произошла авария.

Какова вероятность, что она возникла только из-за неисправности линейной части?

5.7. Из 20 студентов, сдающих экзамен, 8 подготовлены отлично

(знают все 40 вопросов), 6 – хорошо (знают 35 вопросов из 40), 4 –

средне (знают 25 вопросов) и 2 – плохо (10 вопросов). Вызванный наугад студент ответил на все три вопроса билета. Найти вероят-

ность, что он подготовлен: а) хорошо, б) плохо.

5.8. Из 18-ти стрелков пятеро попадают в мишень с вероятностью 0,8;

семеро – с вероятностью 0,7; четверо – с вероятностью 0,6 и двое – с

48

вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок не попал в мишень. К

какой группе вероятнее всего принадлежит этот стрелок?

5.9. Страховая компания разделяет водителей по трем классам: класс

Н1 – низкого риска, класс Н2 – среднего риска, класс Н3 – высокого риска. 30% водителей попадает в первый класс, 50% – во второй класс и 20% – в третий класс. Вероятность в течение года попасть в аварию для водителя класса Н1 равна 0,01; для водителя класса Н2

равна 0,02, а для водителя класса Н3 равна 0,08. Водитель Иванов в течение года попал в аварию. Какова вероятность, что он относится к классу Н1; к классу Н2; к классу Н3?

5.10. В одной урне лежат 5 белых и 3 черных шара, в другой – 2 бе-

лых и 7 черных. Из 1-й урны наудачу переложили один шар во 2-ую урну, после перемешивания из 2-ой урны также наудачу вынули один шар. Какова вероятность, что вынут белый шар? Если известно, что из 2-й урны вынут белый шар, то какова вероятность, что: а) из 1-ой урны во 2-ую был переложен белый шар; б) вынутый белый шар пер-

воначально лежал в 1-ой урне?

5.11. У людей бывают четыре группы крови. При переливании крови больному необходимо учитывать совместимость по этому параметру.

Человеку с IV-й группой можно перелить кровь донора любой груп-

пы; больным с III-й или II-й группой можно переливать либо кровь той же группы, либо I-й группы. А человеку с группой I подойдет лишь кровь той же группы. 40% населения страны имеют I группу, II

и III группы имеют по 25% населения, а 10% людей имеют IV группу.

Найти вероятность, что: а) случайно взятому больному можно пере-

49