нефти и газа

Задачи к разделу 6

6.1. В гараже завода стоят 5 грузовых машин. Вероятность выхода на линию каждой машины равна 0,8. Найти вероятность нормальной ра-

боты завода, если для этого нужно, чтобы не менее 4 машин вышло на линию.

6.2. В среднем каждый пятый покупатель носит обувь 42-го размера.

Найти вероятность, что из пяти покупателей магазина обувь такого размера понадобится а) одному; б) по крайней мере, одному.

6.3. Тест состоит из пяти вопросов, на каждый из которых приведено

4 варианта ответа. Студент не знает ни одного вопроса и выбирает ответы наудачу. Найти вероятность, что он даст: а) три правильных ответа; б) не менее трех правильных ответов; в) не более одного пра-

вильного ответа.

6.4. Назовем «удачной» семью, в которой число мальчиков совпадает с числом девочек. Если считать рождение мальчика и девочки равно-

вероятным, то среди семей с двумя детьми половина является «удач-

ными». А каков процент «удачных» семей с четырьмя детьми?

6.5. Завод отправил на базу 5000 деталей. Вероятность повреждения детали в пути равна 0,0002. Найти вероятность, что среди отправлен-

ных деталей будет повреждено а) ровно 3; б) ровно одна; в) более од-

ной.

6.6. В среднем в одном кубометре воздуха присутствует 100 болезне-

творных микробов. На пробу берется 2 дм3 воздуха. Найти вероят-

ность обнаружения в пробе хотя бы одного микроба.

60

6.7. В соответствии с техническими условиями пекарь положил в

1000 булочек 2000 изюминок. Можно ли убедить знающего эту нор-

му покупателя не писать жалобу, если тот обнаружил в 40 булочках всего 1 изюминку?

6.8. Заболеваемость гриппом во время эпидемии составила 30%. Ка-

кова вероятность, что в студенческой группе из 25 человек заболеют гриппом и не придут на занятие более 15 студентов?

6.9. Диагноз СПИД в России установлен в среднем у 17,62 человек на

100 тысяч населения. Какова вероятность, что среди жителей района с населением 756000 человек этот диагноз окажется менее чем у 100

человек?

6.10. Левши составляют 5% людей. Какая вероятность, что среди 200

человек 11 будут левшами? Левшей будет не менее 3?

6.11.Всхожесть семян огурца равна 0,8. Найти вероятность того, что из посаженных 300 семян взойдет не менее 200.

6.12.Экзамен по теории вероятностей с первого раза сдают 50% сту-

дентов. Найти вероятность, что на первом экзамене из 200 студентов сдадут экзамен более 110 человек.

6.13. Студент знает ответ только на один билет из шести. На экзамене преподаватель разрешает ему 5 раз тянуть билет, однако каждый раз при неудачной попытке кладет вынутый билет обратно и перемеши-

вает билеты. Какова вероятность, что студент сдаст экзамен?

6.14. По паспортным характеристикам терминал оплаты мобильной связи должен ошибаться не более одного раза на 1000 операций. Од-

61

нако из 150 клиентов, оплативших мобильную связь за день, у пяти возникли проблемы с платежом. Можно ли утверждать, что терминал неисправен?

6.15. Игральную кость бросают 84 раза. Найти интервал, в который с вероятностью 0,8 попадает число m выпавших «шестерок». Одно-

значно ли находятся границы интервала?

6.16. На потоке учатся 180 студентов. Если у троих из них дни рож-

дения совпадают, то все студенты потока идут вечером на дискотеку.

Какова вероятность, что за весенний семестр студенты ровно один раз посетят дискотеку по этой причине?

6.17. В возрасте от 20 до 25 лет в среднем одна из трех девушек вы-

ходит замуж. Какая вероятность, что из четырех двадцатилетних под-

руг ровно две выйдут замуж в ближайшие 5 лет, причем Катя (одна из подруг) будет первой?

6.18. Давид Бекхэм забивает в среднем 0,6 гола за игру. Какова веро-

ятность, что в 11 играх чемпионата Европы Бекхэм забьет от 2 до 8

голов? Решить задачу на основе формулы Бернулли и с использова-

нием интегральной теоремы Муавра – Лапласа. Какой из полученных результатов более точен?

62

7.Случайные величины, законы их распределения

ичисловые характеристики

аконом распределения случайной величины ξ называется соот-

Зношение, устанавливающее связь между значениями ξ и веро-

ятностями этих значений. Для любой случайной величины закон рас-

пределения может быть представлен функцией распределения. Функцией распределения случайной величины называется

функция F(x), равная вероятности того, что случайная величина ξ примет значение, меньшее х, где х – действительное число:

F( x) P{ x} .

Случайная величина называется дискретной, если она прини-

мает конечное или счетное число значений. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан рядом распре-

деления. Ряд представляет собой совокупность всех возможных зна-

чений хi случайной величины ξ и соответствующих им вероятностей pi = P{ξ = xi}. Закон (ряд) распределения записывается в виде табли-

цы:

(Число значений случайной величины может быть счетным. В

таком случае таблица содержит бесконечное множество ячеек, и

должно быть задано правило, по которому определяются вероятности

pi).

63

n

Вероятности pi в этой таблице подчиняются условию pi 1.

i 1

Построив на плоскости точки с координатами (xi, pi) и соединив их отрезками, получим ломаную линию, которая называется

угольником распределения (рис.10):

p

Рис.10. Многоугольник распределения дискретной случайной величины

Функция распределения дискретной случайной величины

определяется как F (x) pi , где суммирование ведется по тем

xi x

значениям индекса i, для которых значение случайной величины меньше числа x, т.е. xi < x. В этом случае F(x) является кусочно-

постоянной функцией с разрывами в точках x = xi (рис. 11).

Случайная величина ξ называется непрерывной, если сущест-

вует неотрицательная функция f(x), определяемая равенством

f (x) lim P{x x x} .

x 0 x

64

Функция f(x) называется плотностью распределения веро-

ятностей.

Рис.11. Функция распределения дискретной случайной величины

Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины

ξ и плотность вероятности f(x) связаны соотношениями:

Замечание. Случайная величина, не принадлежащая ни к дискретному, ни к непрерывному типу, называется смешанной. Функ-

ция распределения случайной величины смешанного типа имеет раз-

рывы, однако при этом не является кусочно-постоянной.

Функция распределения любой случайной величины обладает

следующими свойствами:

65

4.P{ } F( ) F( ).

Плотность вероятности случайной величины имеет свойства:

1.f (x) 0.

3.P{ } f ( x)dx.

В качестве основных числовых характеристик случайных вели-

чин рассматриваются моменты и квантили.

Начальным моментом vk порядка k дискретной случайной

величины ξ называется выражение (k – целое, k 0):

vk xik pi , i

где суммирование проводится по всем значениям случайной величи-

ны. Для непрерывной случайной величины начальный момент поряд-

ка k определяется через плотность вероятности:

vk xk f ( x)dx.

66

Начальный момент первого порядка носит название мате-

матического ожидания случайной величины и характеризует ее

среднее значение:

Математическое ожидание случайных величин обладает свойст-

вами:

1.М(С) = С.

2.М(Сξ) = C Mξ, (C – постоянная).

3.M(ξ + η) = Mξ + Mη.

4.M(ξ η) = Mξ Mη, (для независимых величин ξ и η).

Центральным моментом μk порядка k случайной величи-

ны ξ называется выражение

Дисперсия (центральный момент 2-го порядка) случайной

величины ξ характеризует ее разброс относительно среднего значе-

ния и выражается через начальные моменты 1-го и 2-го порядка:

D M [ M 2 ] v2 (M )2 M 2 M 2 .

67

Корень квадратный из дисперсии носит название среднего

квадратического отклонения случайной величины:

Центральный момент третьего порядка характеризует степень несимметричности распределения случайной величины относительно ее среднего значения. Величина

A 33

называется коэффициентом асимметрии.

Квантилем xp порядка p называется величина, определяемая равенством

F(xp) = p,

где F(x) – функция распределения.

На рис. 12 показан квантиль xp порядка p для случайной величи-

ны непрерывного типа. Рис. 12а представляет функцию распределе-

ния, рис. 12б – плотность распределения вероятностей. Заштрихован-

ная площадь равна p.

68

Квантиль x0,5 порядка 0,5, определяемый соотношением F(x0,5) = = 0,5 называется медианой. Площадь под кривой y = f(x) плотности

вероятности делится пополам вертикальной прямой x = x0,5, проходя-

щей через медиану. (На рис. 12б соответствующая заштрихованная площадь в этом случае равна 0,5). Для медианы принято обозначение:

Me = x0,5.

случайной величины:

а)-функция распределения; б)-плотность вероятности

ПРИМЕР 1. В урне лежат 4 белых и 3 черных шара. Наудачу из урны извлекают 3 шара. Случайная величина ξ представляет собой число извлеченных при этом белых шаров. Найти: а) закон распреде-

ления случайной величины ξ; б) вероятность события A = {ξ ≥ 2};

в) математическое ожидание Мξ случайной величины ξ.

Решение. Возможные значения случайной величины ξ: 0, 1, 2,

3. Соответствующие им вероятности находятся по формуле из задачи о выборке: