Основные свойства средней величины:

1.имеется абстрактный характер так как является обобщающей величиной, в ней стираются случайные колебания

2.занимает срединное положение в ряду (в строго симметричном ряду)

3.сумма отклонений всех вариант от средней величины равна нулю. Данное свойство средней величины используется для проверки правильности расчета средней величины.

Виды средних величин

1. Мода (Мо) - варианта, наиболее часто встречающая и в вариационном ряду.

2. Медиана (Ме) - варианта занимающая в вариационном ряду срединное

положение, т.е., центральная варианта, делящая вариационный ряд на две

равные части.

М_о и М_е - условные средние.

3. Средняя арифметическая:

а).Средняя арифметическая простая

б).Средняя арифметическая взвешенная

в). Средняя арифметическая, вычисленная по способу моментов.

Вычисление средней арифметической , простой и взвешенной

В случаях, когда мы имеем простой вариационный ряд, в котором каждой варианте соответствует частота (Р) равная 1, вычисляется средняя арифметическая простая по формуле:

где М средняя арифметическая  - знак суммирования V - варианта, n - число наблюдений

Таким образом, средняя арифметическая простая равна сумме всех вариант, деленной на число наблюдений.

Пример:Определение средней массы тела юношей в возрасте 18 лет (в кг)

V( в кг)	Р
64	1
63	1
62	1
61	1
60	1
59 V =369	1 п =6

Однако чаще всего приходится вычислять среднюю арифметическую взвешенную, которая получается из взвешенных рядов,где каждая вариантавстречается различное количество раз или, как говорят, имеет различный вес.

Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле:

М = VР ,

n где М средняя арифметическая  - знак суммирования , V - варианта, Р -частота встречаемости, n - число наблюдений

Таким образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме произведений вариант на их частоты, деленной на число всех наблюдений.

Пример: определение средней массы тела юношей в возрасте 18 лет (в кг.)

V( в кг)	Р	VР	кг.
64	2	128
63	3	189
62	9	558
61	6	366
60	4	240
59	1 п =25	59 V Р=1540

Вычисление средней арифметической по способу моментов

При большом числе наблюдений или при большом числовом значении вариант применяют упрощенный способ вычисления средней арифметической- способ моментов.

М = А+ iар

п

где М - средняя арифметическая; А - условная средняя; i - интервал между группами вариант;  - знак суммирования.; а- условное отклонение каждой варианты от условной средней; р - частота встречаемости вариант; n - число наблюдений.

Пример вычисления средней арифметической по способу моментов (средней массы тела юношей в возрасте 18 лет)

V( в кг)	Р	а (V-А)	а . Р
64	2	+2	+4
63	3	+1	+3
Мо=62	9	0	0
61	6	-1	-6
60	4	-2	-8
59	1	-3	-3
	п = 25		ар = - 10кг

Этапы расчета средней по способу моментов:

1) за условную среднюю А рекомендуется принять Моду или Медиану, например А = 62кг, так как 62 кг было у 9 юношей из 25;

2) определяем "а" - условное отклонение варианты от условной средней, для этого из каждой варианты вычитаем условную среднюю: а = V - А, ( например, а = 64 - 62 = +2 и т.д.).

3) умножаем условное отклонение "а" на частоту "р" каждой варианты и получаем произведение а р;

4) находим сумму а . р = - 10кг

5) рассчитываем среднюю арифметическую по способу моментов:

М = А + i аР = 62 - 10,4 = 61,6кг

п

Таким образом, можно сделать вывод, что в изучаемой нами группе юношей средняя масса тела 61,6 кг.

Средняя арифметическая сама по себе ничего не говорит о том вариационном ряде, из которого она была вычислена. На ее типичность (достоверность) влияет однородность рассматриваемого материала и колеблемость ряда.

Пример: даны два одинаковых по числу наблюдений вариационных ряда, в которых представлены данные измерений окружности головы детей в возрасте от 1 года до 2-х лет

	Ряд 1	Ряд 2
Окружность головы(в см) Частота	41, 45, 46, 47, 48 7, 8, 25, 6, 2	42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 1, 2, 4, 6, 14, 10, 3, 0, 2

Имея одинаковое число наблюдений и одинаковые средние арифметические (М= 46 см), ряды имеют различия в распределении внутри. Так варианты первого ряда отклоняются в целом от средней арифметической с меньшим значением, чем варианты второго ряда, что дает возможность предположить, что средняя арифметическая (46 см) более типична для первого ряда, чем для второго.

В статистике для характеристики разнообразия вариационного ряда употребляют среднее квадратическое отклонение ()

Существует два способа расчета среднего квадратического отклонения: среднеарифметический способ и способ моментов. При среднеарифметическом способе расчета применяют формулу:

где d истинное отклонение каждой варианты от истиной средней М. Формула используется при небольшом числе наблюдений (п 30)

Формула для определения  по способу моментов:

где а - условное отклонение варианты от условной средней ;

момент второй степени, а момент первой степени, возведенный в квадрат.

Теоретически и практически доказано, что если при большом числе наблюдений к средней арифметической прибавить и отнять от нее 1 (М  1), то в пределах полученных величин будет находится 68,3% всех вариант вариационного ряда. Если к средней арифметической прибавить и отнять 2 (М 2), то в пределах полученных величин будет находиться 95,5% всех вариант. М 3 включает в себя 99,7% всех вариант вариационного ряда.

Исходя из этого положения можно проверить типичность средней арифметической для вариационного ряда, из которого она была вычислена. Для этого надо к средней арифметической прибавить и от нее отнять утроенную  (М 3). Если в полученные пределы данный вариационный ряд укладывается, то средняя арифметическая типична, т.е. она выражает основную закономерность ряда и ей можно пользоваться.

Указанное положение широко применяется при выработке различных стандартов (одежды, обуви, школьной мебели и т.д).

Степень разнообразия признака в вариационном ряду можно оценить по коэффициенту вариации (отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, умноженное на 100% )

С_v =  х 100

М

При С_v менее 10% отмечается слабое разнообразие, при С_v 10-20% - среднее, а при более 20% - сильное разнообразие признака.