3. Представление сигнала с помощью ортогональных функций

Множество непрерывных функций действительного переменного _{{U n (t)} = {U 0 (t),U1 (t ),...} называется ортогональным на интервале [t0 , t0 + T ], если}

2.1

При с = 1 множество {U_n(t)} называется ортонормированным.

Для вычисления сигнала через коэффициенты разложения используется:

В силу условий ортогональности будем иметь

4. Функция взаимной корреляции. Функция автокорреляции.

Корреляция – математическая операция, схожа со свёрткой, позволяет получить из двух сигналов третий. Бывает: автокорреляция (автокорреляционная функция), взаимная корреляция (взаимнокорреляционная функция, кросскорреляционная функция). Пример:

 [Взаимная корреляционная функция]

 [Автокорреляционная функция]

Корреляция - это техника обнаружения заранее известных сигналов на фоне шумов, ещё называют оптимальной фильтрацией. Хотя корреляция очень похожа на свёртку, но вычисляются они по-разному. Области применения их также различные (c(t)=a(t)*b(t) - свертка двух функций, d(t)=a(t)*b(-t) - взаимная корреляция).

Корреляция – это та же свёртка, только один из сигналов инвертируется слева направо. Автокорреляция (автокорреляционная функция) характеризует степень связи между сигналом и его сдвинутой на τ копией. Взаимнокорреляционная функция характеризует степень связи между 2-мя разными сигналами.

5. Комплексный ряд Фурье. Преобразование Фурье.

Впервые в 1807 году французский математик и физик Жан Батист Жозеф Фурье показал, что любую произвольную функцию x(t) можно представить в виде бесконечной суммы синусных и косинусных членов

Раздел математики, устанавливающий соотношение между функцией x(t) и коэффициентами n a и n b , называется гармоническим анализом, а представление (2.11) – рядом Фурье.

Компоненты ряда Фурье называются гармониками. Любая четная функция может быть разложена в ряд Фурье, состоящий из косинусов, а любая нечетная функция раскладывается в ряд из синусов. Для некоторых функций ряд Фурье может состоять лишь из нечетных гармоник. В целом, любая полная система ортогональных функций может быть применена для разложения в ряды, которые соответствуют рядам Фурье.

Рис. 2.5. Основная идея ДПФ

Выражения (2.22), (2.23) составляют пару преобразований Фурье.

Следовательно, последовательности {Cx(k)}, {X(m)} также являются N-периодическими, т.е.

6. Частота Найквиста. Теорема Найквиста-Шеннона.

Частота Найквиста — в цифровой обработке сигналов частота, равная половине частоты дискретизации. Названа в честь Гарри Найквиста. Из теоремы Котельникова следует, что при дискретизации аналогового сигнала потерь информации не будет только в том случае, если спектр (спектральная плотность)(наивысшая частота полезного сигнала) сигнала равен или ниже частоты Найквиста. В противном случае при восстановлении аналогового сигнала будет иметь место наложение спектральных «хвостов» (подмена частот, маскировка частот), и форма восстановленного сигнала будет искажена. Если спектр сигнала не имеет составляющих выше частоты Найквиста, то он может быть (теоретически) продискретизирован и затем восстановлен без искажений. Фактически «оцифровка» сигнала (превращение аналогового сигнала в цифровой) сопряжена с квантованием отсчётов — каждый отсчёт записывается в виде цифрового кода конечной разрядности, в результате чего к отсчетам добавляются ошибки квантования (округления), при определенных условиях рассматриваемые как «шум квантования».

Теорема Котельникова-Найквиста-Шеннона: если сигнал таков, что его спектр ограничен частотой F, по после дискретизации сигнала с частотой не менее 2F можно восстановить непрерывный сигнал по полученному цифровому сигналу абсолютно точно. Для этого нужно проинтерполировать цифровой сигнал «между отсчетами» специального вида функциями.