Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Численные методы

Файл:

Лекции (2010)

.pdf

Скачиваний:

114

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Лекция № 11.

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Системы однородных дифференциальных уравнений.

y ,

...

y ,

y1 t0 y10

...

y2 , ..., y2 , ...,

y2 , ...,

ym			y t
ym			1
ym		y2 t
	y

ym

		ym t

			f t, y
			1
			f2	t, y
	F


			fm t, y


y F		t, y

y t0	y0

Все рассмотренные выше методы Рунге-Кутты и Адамса переносятся на системы уравнений, например метод Эйлера:

				,
yi 1	yi	hF	ti , yi	,	y0	– задано.

Пример.

Составить расчѐтную формулу для системы уравнений:

y		e y12 y22 2t
1
y		2 y2 y				2
2			1			2
y1		0 0.5
		0	1
y2		0	1
h 0.1
y1 U
y2	V
U			U			e Ui2 Vi2 2t
	i	1		i		h		i
							2
Vi 1			Vi				2Ui Vi
U0		0.5
V0	1
U			0.5				e 0.25 1
	1				0.1
			1				2 0.25
V1			1				2 0.25	1

50 | С т р а н и ц а

На практике особое место занимают однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами:

y a

... a

a11

a12

a1m

y a

... a

21 1

...

a21

a22

a2m

y Ay

am1 y1

am 2 y2 ... am m ym

y t0

am1

am2

am m

y t

Определение 1.

Числом жесткости системы называется отношение

S	Re max	. Если	S 10 , то
	Re max
	Re


	min

система является жесткой и требует применения неявных методов с А- устойчивостью (например, неявного метода Эйлера).

Неявный метод Эйлера для систем ДУ:


yi 1	yi	hAyi 1

E hA yi 1			yi	– СЛАУ вида Bz = C.

Хорошо работают для таких задач неявные методы Адамса. Неявный метод Адамса 2-ого порядка:

yi 1 yi h2 F ti , yi F ti 1, yi 1

Для реализации неявного метода обычно используют прогноз коррекции. Берут явную формулу метода Адамса того же порядка точности, что и неявного, и делают прогноз:

F t

, y

F t

, y

i 1

F t

, y

, y*

i 1

Пример.

U 2U

5 / 7

U 0 0

0 1

21 0

A E

5 / 7

C e 1t C

e 2t

V C e 1t

51 | С т р а н и ц а

	max	5
S	max	5	21	23 система жесткая.
	min	5
			21
			21

Лучшим методом является неявный метод Эйлера. Если рассматривается небольшой отрезок времени, то можно использовать явный метод Эйлера,

выбирая шаг h	2		0.4 .

		max

52 | С т р а н и ц а

Уравнения высокого порядка.

y m

a y m 1 a

y m 2 ... a

y f t

y t

F t,U

y t0

...

y m 1 t

m 1

53 | С т р а н и ц а

Постановка краевой задачи стационарной теплопроводности.

	l
T1	T2
T1
T2
0	l
Рис. 1. Постановка задачи.

T T x,t температура. x точка на стержне.

t момент времени.

U U x,t
U a2 2U			f x,t
t		x2
t
a2	2U	~	x
	x2	f

U x,t0 T0
Граничные условия I рода:
U 0,t		U0

U (l,t) U1
Граничные условия II Рода:
U x	0,t 0
U x	l,t 1
		d			dU
			k x			q x U x f x , a		x b

		dx			dx
U a U				a	U b U		b

k x – коэффициент теплопроводности;
q x – коэффициент плотности;
f x – плотность внешних источников тепла.

k x k0 0 по физическому смыслу.

q x 0 предположение для разрешимости задачи.

Численное решение задачи. Стержень однородный, т. е. k x 1.

54 | С т р а н и ц а

U qU f , a x b

U a U

U b

Дискретизация задачи.

U x U h

– дискретная.

a ih

U xi

Ui 1 2Ui

Ui 1

U h

U0h 2U1h U2h

q x

U h

f x

U1h 2U2h U3h

q x

...

Unh 2

2Unh 1 Unh

q x

U h

f x

n 1

U h

2 h2q1

U1h U2h f1h2

U0h

2 h

f2h

...

2 h2q

U h

U h f h2

n 2

n 1

U h

Разностная схема:

1		0	0
	1 2	h2q1	1

	0	1	2 h2q
A			2


	0	0	0

	0	0	0

AU F

0	0	0		0
0	0	0		0

1	0	0		0	U


0	0	0	1

0	0	0		1

U h			U			h2
	0				a
U h		F		f h2
	1	F		1
	1			1



	h						2
Un			Ubh

55 | С т р а н и ц а

Лекция № 12.

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ.

Сходимость разностной схемы.

U qU f , a x b

U a U

U b U

Оператор L U U qU

Lh U h

Uih 1 2Uih Uih 1

q U h

L U f ,

a x b

(1)

Lh Uih fi h ,

i 1,

2, ..., n 1

(2)

U a U

U b U

Теорема 1.

О гладкости решения задачи (1).

Если функции

q x , f x Cm a,b тогда решение

задачи (1) существует и

единственно, и функция U x Cm 2 a,b .

Теорема 2.

Принцип максимума.

на a,b , Ua 0, Ub 0 , то U x 0

на a,b .

Если функция f x 0

Теорема 3.

Априорная оценка решения.

max

U x

max

b a 2

max

f x

a,b

Теорема 4.

Существование решения разностной схемы.

Решение разностной задачи (2) существует и единственно.

Заметим, что задача (2) представляет собой СЛАУ следующего вида (трѐхдиагональная система уравнений):

b0U0

c0U1

a U

b U

c U

aiUi 1

biUi

ciUi 1

bn 1Un 1

cn 1Un

dn 1

an 1Un 2

anUn 1

bnUn

56 | С т р а н и ц а

Условия сходимости:

Заметим, что i-ое уравнение разностной схемы может быть записано в виде:
U	i 1	2 h2q	U h U h		f	h2 ,	i 1, 2, ...,	n 1
	i 1	i	i	i 1	i
b0 1		c0 0
a 1 b 2 h2q				c 1
i		1	i	i
an 0		bn 1

Т. к. все условия применимости метода прогонки выполнены, разностная схема имеет единственное решение.

Теорема 5.

Принцип максимума для разностной схемы.

Если fi 0, i 1, 2, ..., n 1, U a 0, Ub 0 , то Uih 0, i 0, 1, ..., n .

Предположим, что существует j (последний по номеру), где U hj 0 . Возьмѐм точки j – 1 и j + 1.

U h				U h 0
	max					j
U h			U h				U h
	j 1					j	j 1
a U h					a U h
	j		j 1				j j
c U h				c U h
	j		j			j	j 1
d	j	h2 f				j	0
	j					j

0 a j bj c j U j a jU j 1 bjU j c jU j 1 d j 0

Полученное равенство доказывает теорему.

Следствие.

Теорема сравнения.

Lh U h f h , U

, U

Lh V h f h , V V , V V

Lh U h

f h ,

U h

V h .

Если

, тогда

Теорема 6.

Априорная оценка для разностной схемы.

max

b a 2

max

U h

max

f h

0 i n

1 i n 1

Lh U h f h

(2)

U h U

U h yh

57 | С т р а н и ц а

(3)

yh U

(4)

z h

M max

Lh M

q M 0

Lh M

max

0 i n

Для задачи (4) построим мажоранту в виде функции .

x	A	x a b x , где	A max	f x	.


	2		a;b

Подставив i A2 xi a b xi в сеточный оператор, получим:

Lh i A qi i

x 0 1 x n 1

max x достигается в точке

a b

a;b

max x

A b a 2

a;b

A q

Функция x

– мажоранта для функции z x

, т. е.

A b a 2

max

b a 2

max

U h

max

f h

0 i n

1 i n 1

58 | С т р а н и ц а

Сходимость и устойчивость разностной схемы.

Определение 1.

Будем называть аппроксимационной функцией сеточную функцию следующего

вида i Lh U i fi h

Определение 2.

Разностная

схема сходится

p-ым

порядком

точности

по h, если

max

U x

U h

Ch p .

0 i n

Теорема 7.

Разностная схема (2) имеет второй порядок аппроксимации.

U xi 1 2U xi U xi 1

q U x

f x U x r q U x

f x r

i i

U IV

max

M 4

h2 p 2

0 i n

Замечание.

Очевидно, что от функции U(x) требуется наличие IV-ой непрерывной производной, а f , q C2 a;b .

Теорема 8.

Если функции f x , q x C2 a;b , то разностная схема сходится со вторым порядком точности по h.


Lh U h		f h
	i		i				(2)
							(2)
U h U		a	U h		U		b
	0	a		n			b
Lh U h		f h
	i		i			i
			U h		U
U h U		a	U h		U		b
	0	a		n			b
V h	U h	U x
i	i			i
Lh V h
	i			i
			V h 0
V h 0			V h 0
0			n

Применим теорему об априорной оценке:

max

V h

max V h

V h

b a 2

A max

M 4

0 i n

1 i n 1

max

U h U x

M 4 b a 2

0 i n

59 | С т р а н и ц а

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Численные методы

#
28.06.20142.38 Кб21Библиотека Gauss.pas
#
28.06.201497.96 Кб43Задания типовых расчётов.pdf
#
28.06.201435.74 Mб50Инженерные расчеты в MathCAD (Макаров Е.Г.).djvu
#
28.06.20141.12 Mб114Лекции (2010).pdf
#
28.06.20141.68 Mб127Лекции.doc
#
28.06.2014131.07 Кб24Поиск экстремума неявной функции.doc
#
28.06.2014281.48 Кб145Типовые расчёты.docx
#
28.06.201436.86 Кб35Экзаменационная программа.doc