Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Численные методы

Файл:

Лекции (2010)

.pdf

Скачиваний:

114

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Пример Рунге.

y x	1	1;1	y
	1
	1 25x2
			1

-1

y x P2 x

x0 , x1 , x2 , ...

Чем больше степень многочлена, тем больше наблюдается полиномиальное раскачивание на концах 1;1 . Если в качестве узлов интерполяции брать не равномерную сетку, а сетку, основанную на корнях многочлена Чебышева, то эффект раскачивания пропадает для функции Рунге.

Теорема 3.

Фабера.

Какую бы стратегию выбора узлов мы не выбрали, всегда найдѐтся функция, для которой Rn x .

Определение 3.

Пусть даны точки x0 , x1, ..., xn , тогда y x Pn x , построенный по всем узлам интерполирования, называется глобальной интерполяцией.

Определение 4.

Приближение функции на выбранном подмножестве узлов многочленом невысокой степени называется кусочно-полиномиальной интерполяцией.

1.Множество точек разбивается на подмножества по три точки и приближается P2k x , где k – номер подмножества. Получаются погрешности в узлах стыковки.

P22 x

P23 x

...

2.Движущиеся многочлены.

Выбирается подмножество узлов, настроенное на точку x* . Выбираем ближайшие точки x2 , x3 , x4 и по ним строим полином соответствующей степени.

10 | С т р а н и ц а

Многочлен Ньютона с конечными разностями.

Определение 5.

Конечной разностью называется разность между соседними значениями функции:

fi fi 1 fi

Конечной разностью n-ого порядка называется разность вида:

n fi n 1 fi 1 n 1 fi

2 fi fi 1 fi fi 2 2 fi 1 fi

Диагональная таблица конечных разностей.

2 yi

3 yi

...

k yi

y0 y1 y0

y y

2 y y y

y y

2 y y

3 y 2 y 2 y

yk 3

yk 4 yk 3 yk 4

2 yk 5 yk 4 yk 5

3 yk 6 2 yk 5 2 yk 6

yk 2

yk 3 yk 2 yk 3

2 yk 4 yk 3 yk 4

3 yk 5 2 yk 4 2 yk 5

yk 1

yk 2 yk 1 yk 2

2 yk 3 yk 2 yk 3

3 yk 4 2 yk 3 2 yk 4

2 y

k 1

k 2

3 y

2 y

k 2

2 y

k 3

k y k 1 y k 1 y

Построим многочлен Ньютона, предполагая, что таблица узлов равномерная ( h

–

шаг таблицы).

n 1

Pn x a0

a1 x x0 a2 x x0 x x1 ... an x xi

i 0

i 0,1,..., n

a0 y0

x x

a h y a

y1 y0

x a

y1 y0

2h2 a

y2 2 y1 y0

2 y0

2h2

...

i y0

i !hi

Многочлен Ньютона при интерполировании вперѐд имеет вид:

Pn x y0 y0		x x0	y20	x x0 x x1 ...	yn0	x xk
			2		n	n 1
	1!h		2!h		n!h	k 0
						k 0

Остаточный член, т. е. погрешность интерполяции для многочлена Pn x , имеет такой же вид, как и для многочлена Лагранжа.

11 | С т р а н и ц а

Лекция № 3.

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ ИНТЕРПОЛЯЦИИ (продолжение).

Линейная интерполяция.

Заданы yi , yi 1

и h xi 1

xi .

x y

x xi 1

x xi

i x x

i 1 x

i 1

x y

x x

yi 1 yi

x x

1!h

Задача: выполнить линейную интерполяцию функции двух переменных z f x, y .

1 способ.

			z1i
z	z	z	i	z2i
z	z	z	3i	z2i
			3i

D = [0,1] x [0,1]

		x		x
				x
y	D		y	D
			y

z ai x bi y ci

2 способ.

Интегрирование в направлении x.

z f xi , y f xi 1, y f xi , y x xi hx

Интегрирование в направлении y.

z f x , y

f xi , y j 1 f xi , y j

y y

x xi

x , y

j 1

f x , y

y y

f x

, y

j 1

f x

, y

f xi 1

, y j

i 1

y y j

12 | С т р а н и ц а

Многочлен Ньютона с разделёнными разностями.

Определение 1.

Разделѐнной

разностью

1-ого

порядка

называется

величина

f x , x

f xi 1

f xi

i i 1

xi 1 xi

Диагональная таблица разделѐнных разностей.

f xi , x j

f xi , x j , xk

...

f x0

f x0 , x1

f x1

f x0

f x1, x2

f x2 f x1

x0 , x1, x2

f x1, x2

f x0 , x1

f x2 , x3

f x3 f x2

x1, x2 , x3

f x2 , x3

f x1, x2

f xi 2

xi 3 , xi 2

f xi 2 f xi 3

f xi 4

, xi 3 , xi 2

f xi 3 , xi 2 f xi 4 , xi 3

xi 2 xi 3

xi 2 xi 4

f xi 1

xi 2 , xi 1

f xi 1 f xi 2

f xi 3

, xi 2 , xi 1

f xi 2 , xi 1 f xi 3 , xi 2

xi 1 xi 2

xi 1 xi 3

f xi 1, xi

f xi

f xi 1

f xi 2 , xi 1, xi

f xi 1, xi f xi 2 , xi 1

xi 1

xi 2

f xi 1

f xi , xi 1

f xi 1 f xi

f xi 1, xi , xi 1

f xi , xi 1

f xi 1, xi

xi 1 xi

xi 1 xi 1

f xi , xi 1,.., xi k	f xi 1, xi 1,.., xi k	f xi , xi 1,.., xi k 1
	xi k	xi

Разделѐнная разность – симметричная функция своих аргументов.

Разделѐнная и конечная разности связаны следующим соотношением (если сетка

равномерна с шагом h)			f xi , xi 1,.., xi k	k fi
равномерна с шагом h)			f xi , xi 1,.., xi k	k!hk
f x , x	,.., x	f k
f x , x	,.., x
i i 1	i k	k!
		k!

Многочлен Ньютона с разделѐнными разностями:

n 1

Pn x f0 f x0 , x1 x x0 f x0 , x1, x2 x x0 x x1 ... f x0 , x1,..., xn x xi

i 0

Оценка погрешностей через разделѐнные разности:

Rn x f x Pn x M n 1 n 1 x

n 1 ! Rn x f x0 , x1,..., xn n 1 x

13 | С т р а н и ц а

Практическая оценка погрешности:

n Pn 1 x Pn x f x Pn x n

Пример.

Построить интерполяционный многочлен с разделѐнными разностями:

		xi	0	0.5	0.8	1
		yi	2	3.3	4.5	5.4
P3	x 2 2.6x 1.75 x 0.5 x 0.75x x		0.5 x 0.8
P2	x 2 2.6x 1.75 x 0.5 x
P3	0.6 3.674
P2	0.6 3.665

R2 x P3 x P2 x 0.009 f 0.6 3.665 0.009

14 | С т р а н и ц а

Интерполирование с кратными узлами.

x P33

...

x 3

P3i x a0 x xi 1 3 a1 x xi 3 a2 x xi 1 x xi 2 a3 x xi x xi 1 2

a h3

i 1

yi 1

h3 y

3a0 x xi 1 2 3a1 x xi 2 a2 x xi 2 2 x xi 1 x xi a3 x xi 1 2 2 x xi x xi 1

P3i x

i 1

Pi x

3a h2

2 y

i 1

Pi x

a h2

x x

yi 1

x x 3

yi 1

x x

y 3

x x

i 1

x x

x x x x

x x

i 1

x x 2

x x

i 1

A h13 x xi 1 2 x xi 1 3 x xi xi 1 xi h h13 x xi 1 2 2 x xi h

x x

3 x x

x x

x x 2

2 x x

i 1

i i 1

i 1

Pi x y

x xi 2 2 x xi 1 h

x xi 1 2 2 xi

x h y

x xi 1 x xi 2

x xi x xi 1 2

i 1

Многочлен Эрмита (многочлен с кратным узлом) является базовым многочленом для построения сплайнов. Кратность узлов 2, так как заданы yi , yi .

Многочлен, представленный формулой Тейлора,

f x

f k x

f x Ф

x f

x x

...

x x

представляет собой многочлен кратности k+1.

15 | С т р а н и ц а

Лекция № 4.

СПЛАЙНЫ.

Построение кубического сплайна.

Определение 1.

Сплайном (от англ. spline – «гибкая линейка») называется непрерывная функция удовлетворяющая следующим условиям:

1.	На каждом x	, x	Pi	x .
	i 1	i	m
2.	Sm x – сплайн: Sm		xi yi ,		i 0,1,..., n и имеет p непрерывных производных.

Определение 2.

Дефектом сплайна называется разность m – p.

Многочлен Эрмита – сплайн дефекта 2.

x P

...

1,3

1,1

1,2

1,n

Рис. 1. Линейный сплайн.

y1 y0

x x , x

x ; x

1,1

y2 y1

x x , x x ; x

x y

1,2

S1 x

...

x y

yi 1

x x

, x x

; x

1,i

i 1

...

ym ym 1

x y

m 1

x x

m 1

, x x

m 1

; x

1,m

S1 x – непрерывная функция, p = 0.

Дефект m – p = 1 – 0 = 1.

Построим кубический сплайн дефекта 1.

3,i

i 1

3,i

Определение 3.

Значение

называется наклоном сплайна Si .

Sm x в точках xi

16 | С т р а н и ц а

P3,i x yi 1

x xi 2 2 x xi 1 h

x xi 1 2 2 xi

x h

Si 1

x xi 1 x xi 2

x xi 1 2 x xi

x y

4 x xi 1 2h 8 x xi

4 xi x 2h 8 x xi 1

4 x xi 2 x xi 1

3,i

i 1

2 x xi 4 x xi 1

x y

4 x xi 2h 8 x xi 1

4 xi 1 x 2h 8 x xi

4 x xi 1 2 x xi

3,i

i 1

Si 1

2 x xi 4 x xi

6 yi 1

6 yi

2Si 1

4Si

6 yi

6 yi 1

2Si

4Si 1

3,i

i 1

3h 1 y

i 1

i 1,2,..., n 1

i 1

Для построения кубического сплайна следует решить систему относительно

наклонов Si . Добавим два условия:

Фундаментальный кубический сплайн ( y x0 ,

y xn известны).

y x

Sn y xn

Известны значения y x0

и y xn .

6 y0

6 y1

4S0

2S1

y x

3,1

6 yn 1

6 yn

2Sn 1

4Sn

y x

3,n

Естественные сплайны.

y x0 0

y xn

Сплайны с отсутствием узла.

P3,1 P3,2

P3,1

P3,2

P x

n 1

3,n 1

3,n

3,n 1

n 1

3,n

Теорема 1.

Пусть f x C4 x , x , тогда max

f x S

C h4 .

x0 ,xn

17 | С т р а н и ц а

Формула Ньютона-Котеса.

Дано: I f x dx

Необходимо найти In (приближенное значение интеграла): In I

In Ai f xi , где

i 0

In – квадратурная сумма,

Ai – веса квадратурной формулы, xi – узлы квадратурной формулы.

xi 1, xi – элементарный отрезок интегрирования.x0 , xn – составной отрезок интегрирования.

f x Pm x Rm x

b	b		b
I f x dx Pm		x dx	Rm x dx
a	a		a

		In	R остаточный член

квадратурной формулы

18 | С т р а н и ц а

Формулы прямоугольников.

fi 1	P x		fi 1	P x
	0			0
		fi			fi
		fi			fi

xi 1				xi	xi 1					xi
	x					x
Iпрлев	i	f xi 1	dx h fi 1 ,	i 1,..., n	Iпрправ	i	f	xi	dx h fi ,	i 1,..., n
	xi 1					xi 1
		n 1					n
Iпрлев h fi					Iпрправ h fi
		i 0					i 1

Rпрлев i x

f x dx h fi 1

f x dx

f xi 1 dx

i f x dx

xi 1

f x xi 1 2

, xi 1 , xi

xi 1

n 1

M1 b a

M1h

f x

Rпрлев

max

i 0

a,b

fi 1	P x
	0

xi 1

i 1

f x

dx h f

1 , i 1,..., n

i 1

I ц

h f

i 1

f x xi 1 fi 1 dx

19 | С т р а н и ц а

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Численные методы

#
28.06.20142.38 Кб21Библиотека Gauss.pas
#
28.06.201497.96 Кб43Задания типовых расчётов.pdf
#
28.06.201435.74 Mб50Инженерные расчеты в MathCAD (Макаров Е.Г.).djvu
#
28.06.20141.12 Mб114Лекции (2010).pdf
#
28.06.20141.68 Mб127Лекции.doc
#
28.06.2014131.07 Кб24Поиск экстремума неявной функции.doc
#
28.06.2014281.48 Кб145Типовые расчёты.docx
#
28.06.201436.86 Кб35Экзаменационная программа.doc