Лекции (2010)

Rn

x

M

n 1

hn 1

4 n 1 !

R

x M

n 1

hnC

n

y x Pm x Rm x

y x P

x R x P

x

m

m

m

ch p y x P

x

p

y x P2 x R2 x

P x y

yi 1 x x

2 yi 1

x x

x x

2

i 1

1!h

i 1

2!h2

i 1

i

P x yi 1

2 yi 1 x x

x x

2

h

2h2

i 1

i

P x

yi 1 2 yi 1

h

2yi 1 2 yi 1

2 yi

2 yi 1 yi 1 2 yi yi 1

3yi 1 4 yi

yi 1

2

i 1

h

2h2

2h

2h

2h

P x

2 yi

2 yi 1 yi 1 2 yi yi 1

yi 1 yi 1

2

i

2h

2h

P x

yi 1

2 yi 1

3h 2 yi

2 yi 1 3yi 1 6 yi

3yi 1 3yi 1 4 yi

yi 1

2

i 1

h

2h2

2h

2h

Получим оценку аппроксимации:

y

3yi 1 4 yi

yi 1

i 1

2h

3y

4 y y

1

h2

h3

i 1

y

i 1

i

i 1

y

3y

4 y

hy

y

y

y

i 1

2hy

i 1

2h

i 1

2h

i 1

i 1

i 1

2

i 1

6

1

i 1

2

2h

3

2h

y

y

1

h0 3y

4 y

y

h1

4 y

2 y

h2 2 y

2 y

2

i 1

i 1

2

i 1

6

2h

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

h3

2 y 1

4

y

y

h2

y 1

2

y

2

2

3

3

i 1

3

3

Ch2

y 0 3 1 4 1.22140 1.49182

0.98442

2 0.2

y t f t, y t , t t0

y t

y

0

0

ПT t0 t T , y

Теорема 1.

Если

функция f t, y t удовлетворяет условию

f y t, y t

L ,

то

задача Коши

разрешима. Если при этом

f t, y t является m

раз

непрерывно

Известно, что задача Коши устойчива по входным данным.

y* ' t f

t, y* t

y*

y* t

0

0

t y t y* t

y y* ' f t, y t

f t, y* t

y* t

y

y*

y t

0

0

0

t, y

0

t y t y

t , y y t ; y

t

f t, y t f

t f y t, y

t

*

~

*

~

*

f y t, y t

~

Однородное линейное ДУ I-ого порядка.

,

y

y*

t

0

0

0

0

0

t 1 t 2

t

t 1

t

1

2

t

t

0

0

2

0

1

0

t

d

t

1 t0

0et0

2 t d

t0

t

d

t

t 0et0

d

t0

0, 0 t 0 .

Задача устойчива, если при 0

0 t убывает.

0 t сильно растѐт.

Условие устойчивости задачи Коши:

t

L T t0

t

e

0

d

t0

t

eL T t0 , t 0

t

K T 0

d , K T

t

0

1, t 0

t0

t1 t2 t3 ...

T tN

ti

t0

ih, i 0,1,..., N

y ti

– точное решение задачи в точке ti ;

yi

– приближенное решение задачи в точке ti ;

y t h

y t y t h

y t

h2 ...

y p t

h p Rp 1

2!

p!

y t f t, y t

Ch p 1

y t ft f y y

y t f 2 f y f

y 2

f y

tt

ty

yy

y

y

y h t

y

h2

1 t

y

i

i

i 1

i

i

2

i

ti

t0 0

t1 0.1

t2 0.2

t3 0.3

y ti

1

1.11034

1.24280

1.39972

yi

1

1.11

1.237

1.356

Тэйлор

yi

1

1.1

1.22

1.342

Эйлер

35 | С т р а н и ц а