Лекции (2010)

Стандартный метод Рунге-Кутты IV порядка точности.

l Ch5

Ch4

40 | С т р а н и ц а

42 | С т р а н и ц а

Адаптивные процедуры численного интегрирования.

Рис. 2. Адаптивная процедура численного интегрирования.

Теорема 1.

i lhi

Формула явного одношагового метода.

43 | С т р а н и ц а

Устойчивость численного метода. Каноническая форма записи пошагового численного метода.

Возмущенная задача:

n – погрешность вычисления правой части метода в каждой точке.

Определение 4.

Численный метод называется устойчивым, если

Теорема 2.

Если рассматривается метод Рунге-Кутты p-ого порядка точности по h, то если начальное условие задано с p-ым порядком точности по h, то метод сходится с p- ым порядком точности по h.

(Устойчивость + Аппроксимация = Сходимость)

Метод Рунге-Кутты является одношаговым.

yn 1 yn Ф tn , yn h

y0 – стартовая точка.

yn 1 y tn 1

y tn 1 y tn Ф tn , y tn n

h

n – погрешность аппроксимации.

Воспользуемся оценкой для устойчивости.

y* y t

max yn y tn K T h Ch p K T C T t0 h p Сходимость с порядком p.

44 | С т р а н и ц а

Нуль-устойчивость численных методов.

k-шаговый метод:

i yi yi* , i 0,1,..., k 1

yi* – возмущѐнные значения начальных точек (с погрешностями).

max i

0 i k 1

Самый простой тип устойчивости – нуль-устойчивость. Для еѐ исследования будем применять следующую модельную задачу.

Определение 1.

Нуль-устойчивостью называется устойчивость на задаче:

y 0 y t C

Для данной задачи:

метода.

q1, q2 , ..., qk – корни.

Если q j – просто, то решение n qnj .

Если q j – кратный кратности r, то решение n qnj , nqnj , ..., nr 1qnj .

Определение 2.

Будем говорить, что выполнено корневое условие, если все корни q1, q2 , ..., qk

характеристического полинома метода лежат внутри или на границе комплексной плоскости радиуса 1 и на границе нет кратных корней

Метод является нуль-устойчивым, если выполнено корневое условие.

46 | С т р а н и ц а

Все методы Рунге-Кутты и Адамса являются нуль-устойчивыми.

на границе нет кратных корней.

n 1 n 2 n 1 0

n qn

qn 1 qn 2qn 1 0 P q q2 q 2 0

q1 1, q2 2

q2 1 корневое условие не выполнено.

Пример.

y cos ty 0 0

h 0.1

y0 0

y1 y0 h cos t0 0.1 y t1 sin 0.1 0.0998y1 y t1 2 10 4

0.8

Рис. 1. Неустойчивость задачи.

47 | С т р а н и ц а

Абсолютная устойчивость метода.

P q, z 0qk 1qk 1 ... k 0

D – область устойчивости метода. Состоит из точек z, при которых выполняется корневое условие. Найдѐм D для явного метода Эйлера.

yi 1 yi

h

yi 1 1 h yi 0 P q, z q 1 z 0

q 1 z 1 z 1

D

-1

Рис. 2. Область устойчивости явного метода Эйлера.

Найдѐм D для неявного метода Эйлера.

48 | С т р а н и ц а

P q, z 1 z q 1 0

q 1 1 z

1 z 1

D

1

Рис. 3. Область устойчивости неявного метода Эйлера.

Неявный метод Эйлера устойчив при любом шаге h.

Определение 3.

Метод называется абсолютно устойчивым при данном z, если все корни полинома устойчивости лежат внутри единичного круга и на границе нет кратных корней.

Определение 4.

Множество точек D комплексной плоскости, состоящее из точек z, для которых метод абсолютно устойчив, называется областью абсолютной устойчивости метода.

Определение 5.

Метод называется А-устойчивым, если область D включает в себя область комплексной плоскости Re z 0 .

49 | С т р а н и ц а