2. Перевод чисел из одной системы представления в другую.

Перевод чисел в десятичную систему счисления с помощью степенного ряда.

Задача.

А₁ = 100100.1001₂, А₂ = 234.5₈, А₃ = АВС.Е₁₆

А₁ = 100100.1001₂ = 2⁵ +2² +2^-1 +2^-4 = 36 + 36.5625₁₀;

Решение:

А₂ = 234.5₈ = 2х8² + 3х8¹ + 4х8⁰ + 5х8^-1 = 156 + 5/8 = 156.625₁₀

А₃ = АВС.Е₁₆ =10х16² + 11х16¹ + 12х16⁰ + 14х16^-1 = 2748 + 16/16 = 2748.875₁₀

.

Для того, чтобы из восьмеричного счисления перевести число в двоичный код, необходимо каждую цифру этого числа представить триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются.

Задача.

Решение:

1234.777₈ = 1 010 011 100.111 111 111₂

1234567₈ = 1 010 011 100 101 110 111₂

123456.007₈ = 1 010 011 100 101 110.000 000 111₂

Обратный перевод производиться следующим образом: каждая триада двоичных цифр заменяется восьмеричной цифрой. Для правильного перевода двоичные символы должны быть сгруппированы по три, начиная с младших разрядов. Если триада старших разрядах получается неполной, то ее выравнивают путем добавления нулей.

Задача.

Решение:

Перевод из двоичной в восьмеричную систему счисления производится следующим образом: каждая триада двоичных цифр заменяется восьмеричной цифрой. Для правильного перевода двоичные символы должны быть сгруппированы по три, начиная с младших разрядов. Если триада старших разрядов получается неполной, то её выравнивают путем добавления нулей.

1100111₂ = 001 100 111₂ = 147₈

11.1001₂ = 011.100 100₂ = 3.44₈

110.0111₂ = 110.011 100₂ = 6.34₈

При переводах между двоичным и шестнадцатеричным счислениями используется группировка двоичных чисел по четверкам. При необходимости производится выравнивание группировки посредством добавления нулей.

Задача.

Решение:

1234.АВ77₁₆ = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂;

СЕ4567₁₆ = 1100 1110 0100 0101 0110 0111₂

0.1234 АА₁₆ = 0.0001 0010 0011 0100 1010 1010₂

1100111₂ = 0011.1001₂ = 67₁₆;

11.1001₂ = 0011.1001₂=3.9₁₆

110.0111001₂ = 0110.0111 0010₂ = 6.32₁₆

При переходе из восьмеричного счисления в шестнадцатеричное счисление и обратно используется как вспомогательный двоичный код числа.

Задача.

Решение:

1234567₈=001 010 011 100 101 110 111₂=0101 0011 1001 0111 0111₂= =53977₁₆;

0.12034₈ = 0.001 010 000 011 100₂ = 0.0010 1000 0011 1000₂ = 0.2838₁₆

120.34₈ = 001 010 000.011 100₂ = 0101 0000.0111₂ = 50.7₁₆

1234.АВ77₁₆ = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂ =

=001 001 000 110 100.101 010 110 111 011 100₂ = 11064.526734₈

СЕ4567₁₆ = 1100 1110 0100 0101 0110 0111₂ =

=110 011 100 100 010 101 100 111₂ = 63442547₈

0.1234АА = 010 010 101 010₂ = 0.04432252₈.

3. . Перевод смешанного числа (целого и дробного) из десятичного счисления в другое счисление.

Метод деления.

Представление десятичного числа в других системах счисления может проводиться по схеме Горнера. Допустим, что у нас есть целое число D, представленное с помощью основания системы счисления b, т.е. D_n. Процесс представления выполняется в несколько этапов по следующим правилам:

3. Последовательно делить заданное число и получаемые целые части на новое основание счисления до тех пор, пока целая часть не станет меньше основания нового счисления.

4. Полученные остатки от деления, представленные символами нового счисления, записать в виде числа, начиная с последней целой части.

Следовательно, на 1 этапе D_n =, где - целая часть от деления, а₀ – остаток. Этот остаток является первым младшим разрядом в новой системе счисления. На втором этапе деления получаем выражение вида

= и т.д.

Задача.

Представить по схеме Горнера десятичное число D₁₀ = 147 в двоичном коде D₂ = 10010011, в восьмеричном коде D₈ =223, в шестнадцатеричном коде D₁₆ = 93.

Проверить полученные результаты на инженерном калькуляторе.

Рассмотрим преобразование десятичных чисел в двоичные, восьмеричные или шестнадцатеричные на основе процедуры схемы Горнера, представленной в виде таблицы:

Десятичное число D10	Двоичное число D2	Вес разряда
13 : 2 = 6 с остатком 1	1	1
6 : 2 = 3 с остатком 0	0	2
3 : 2 = 1 с остатком 1	1	4
1 : 2 = 0 с остатком 1	1	8

Десятичное число D10	Двоичное число D2	Вес разряда
37 : 2 = 18 с остатком 1	1	1
18 : 2 = 9 с остатком 0	0	2
9 : 2 = 4 с остатком 1	1	4
4 : 2 = 2 с остатком 0	0	8
2 : 2 = 1 с остатком 0	0	16
1 : 2 = 0 с остатком 1	1	32

Десятичное число D10	Восьмеричное число D8	Вес разряда
271 : 8 = 33 с остатком 7	7	1
33 : 8 = 4 с остатком 1	1	8
4 : 8 = 0 с остатком 4	4	64

Десятичное число D10	D16	Вес разряда
27154 : 16 = 1697 с остатком 2	2	1
1697 : 16 = 106 с остатком 1	1	16
106 : 16 = 6 с остатком 10	А	256
6 : 16 = 0 с остатком 6	6	4096

Десятичное число D10	D16	Вес разряда
7589 : 16 = 474 с остатком 5	5	1
474 : 16 = 29 с остатком 10	А	16
29 : 16 = 1 с остатком 13	D	256
1 : 16 = 0 с остатком 1	1	4096

Задача.

Самостоятельно записать процедуру перевода D₁₀ =156 в D₈ и на основе анализа процедуры преобразования чисел из одной системы счисления (D₁₀) в другую D₂, D₈, D₁₆ разработать алгоритм этой процедуры.

Решение:

Десятичное число D10	Двоичное число D2	Вес разряда
156:2 = 78 с остатком 0	0	1
78:2 = 39 с остатком 0	0	2
39:2 = 19 с остатком 1	1	4
19:2 = 9 с остатком 1	1	8
9:2 = 4 с остатком 1	1	16
4:2 = 2 с остатком 0	0	32
2:2 = 1 с остатком 0	0	64
1:2 = 0 с остатком 1	1	128

Десятичное число D10	Восьмеричное число D8	Вес разряда
156:8 = 19 с остатком 4	4	1
19:8 = 2 с остатком 3	3	8
2:8 = 0 остатком 2	2	64

Десятичное число D10	D16	Вес разряда
156:16 = 9 с остатком 12	С	1
9:16 = 0 с остатком 9	9	16

156₁₀ = 10011100₈ = 234₈ = 9С₁₆

Алгоритм процедуры показан на рисунке:

Метод вычитания.

53 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰

-32 2⁵____ 1 1 0 1 0 1

21

-16 2⁴____________

5____________________________

-4 2²________________________________

1

-1 2⁰_________________________________________

0

Метод умножения (Перевод дробного числа из десятичного счисления в другое счисление).

Правило: последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет получено требуемое по условию количество разрядов; полученные целые части являются разрядами числа в новой системе и их необходимо представлять цифрами этой новой системы счисления.

Пример.

Для преобразования десятичной дроби в двоичный эквивалент используем операцию последовательного умножения на 2. Если первое произведение окажется меньше 1, то запишем в старший разряд двоичной дроби 0. Если первое произведение  1, то старшей цифрой двоичной дроби является 1. Аналогично определим вторую цифру двоичной дроби, причем на два умножается только дробная часть произведении, полученная на предыдущем шаге.

Задача.

0,6384×2=1,2768 1 0,4535×2=0,907 0

0,2768×2=0,5536 0 0,907×2=1,8140 1

0,5536×2=1,1072 1 0,8140×2=1,6280 1

0,1072×2=0,2144 0 2,6280×2=1,256 1

0,2144×2=0,042880 1,256×2=0,512 0

0,0×2=0,0 0 0,512×2=1,024 1

(0,6384)₁₀ = (0,101000)₂ 0,024×2=0,048 0

0,048×2=0,096 0

0,096×2=0,182 0

(0,4535)₁₀ = (0,011101000)₂