- •Контрольная работа по дисциплине
- •Информация и данные.
- •Системы счисления и перевод чисел из одной системы представления в другую.
- •Позиционные системы счисления.
- •Перевод чисел из одной системы представления в другую.
- •. Перевод смешанного числа (целого и дробного) из десятичного счисления в другое счисление.
- •Форматы чисел.
- •3.1. Естественная форма числа или представление чисел в формате с фиксированной запятой (точкой).
- •Нормальная форма числа или представление чисел в формате с плавающей запятой (точкой).
- •Машинные коды чисел.
- •Арифметические действия над машинными кодами.
- •Логические основы построения компьютера.
-
Системы счисления и перевод чисел из одной системы представления в другую.
-
Позиционные системы счисления.
-
Перевод чисел является важным процессом функционирования вычислительных машин, так как с помощью его осуществляются арифметические действия, адресация файлов и т.п. операции.
В вычислительных машинах применяются позиционные системы счисления. В позиционной системе счисления каждое число представляется последовательностью цифр, причем позиции каждой цифры xi присвоен определенный вес bi, где b – основание системы. Представление целого числа в виде степенного ряда описывается формулой:
Любое число в позиционной системе счисления представляется в виде разрядов. Крайняя слева цифра называется цифрой старшего разряда, крайняя справа – цифрой младшего разряда.
Смешанное число в позиционной системе счисления представляется степенным рядом:
,
где xk–любое число из алфавита системы (набор символов) с основанием b; m и n–число разрядов соответственно для целой и дробной части числа.
В современных компьютерах используются позиционные системы счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16, которые соответственно называются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления. Представление чисел в этих системах показано в табл.1.
Таблица 1.
Десятичные числа D10 |
Двоичные числа D2 |
Восьмеричные числа D8 |
Шестнадцатеричные числа D16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
10 |
2 |
2 |
3 |
11 |
3 |
3 |
4 |
100 |
4 |
4 |
5 |
101 |
5 |
5 |
6 |
110 |
6 |
6 |
7 |
111 |
7 |
7 |
8 |
1000 |
10 |
8 |
9 |
1001 |
11 |
9 |
10 |
1010 |
12 |
А |
11 |
1011 |
13 |
B |
12 |
1100 |
14 |
C |
13 |
1101 |
15 |
D |
14 |
1110 |
16 |
E |
15 |
1111 |
17 |
F |
16 |
10000 |
20 |
10 |
17 |
10001 |
21 |
11 |
Для представления чисел в различных системах счисления необходимо вычислять степени двойки, восьмерки и шестнадцати (табл.2).
Таблица 2.
Степени двойки |
Степени восьмерки |
Степени шестнадцати |
20=1 |
80=1 |
160=1 |
21=2 |
81=8 |
161=16 |
22=4 |
82=64 |
162=256 |
23=8 |
83=512 |
163=4096 |
24=16 |
84=4096 |
164=65536 |
25=32 |
85=32768 |
|
26=64 |
|
|
27=128 |
|
|
28=256 |
|
|
29=512 |
|
|
210=1024 |
|
|
Задача.
Представить число 1997 в позиционной системе счисления с основанием 10 (десятичной системе)
1997 = 1х103 + 9×102 +9×101 +7×100.
Представить число 1997 в позиционной системе счисления с основанием 2 (двоичной системе)
1997 = 1×210 +1×29 +1×28 +1×27 +1×26 +0×25 +0×24 +1×23 +1×22 +0×21 +1×20 = 11111001101.
Представить число 1997 в позиционной системе счисления с основанием 8 (восьмеричной системе)
1997 = 3×83 +7×82 +1×81 +5×80 = 3715.
Представить число 1997 в позиционной системе счисления с основанием 16 (шестнадцатеричной системе)
1997 = 7×162 +12×161 +13×160 = 7CD.
Задача.
Представить в двоичной форме числа 48, 57 ,511, 121. Разложим числа по степенному ряду двойки:
Решение:
48 = 32+16=1х25 + 1х24 + 0х23 + 0х22 + 0х21 + 0х20=1100002
57 = 32+ 16+8+1 =1х25 + 1х24+ 1х23 + 0х22 + 0х21 + 1х20 = 1110012
511=256+128+32+16+8+4+2+1 = 1х28+1х27 +1х26+1х25+1х24 +1х23+ +1х22 +1х21 +1х20 = 1111111112
121 = 64+32+16+8+4+2+1 = 1х26+1х2 +1х24+ 1х23 + 0х22 + 0х21 + 1х20 = =1111012
Задача.
Представить в восьмеричной форме числа 48, 57 ,511, 121. Разложим числа по степенному ряду восьмерки:
48 = 6х81 + 0х20 = 608
57 = 56 + 1 = 7х81 + 1х20 = 718
511 = 448 + 56 + 7 = 7х81 + 7х81 + 7х80 = 7778
121 = 64 + 56 + 1 = 1х81 + 7х81 + 1х80 = 1718
Задача.
Представить в шестнадцатеричной форме числа 48, 57 ,511, 121. Разложим числа по степенному ряду шестнадцати:
48 = 3х161 + 0х160 = 3016
57 = 48 + 9 = 3х161 + 9х160 = 39 16
511 = 256 + 240 + 15 = 1х162 + 15х161 + 15х160 = 1FF 16
121 = 112 + 9 = 7х161 + 9х160 = 19 16