2. Определение показателей центра распределения

К показателям центра распределения относятся: средняя арифметическая, мода и медиана.

Средняя арифметическая

где x_i –середина i-го интервала.

Мода – значение признака наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности.

Для нахождения моды по интервальному ряду распределения в начале определяем модальный интервал, т.е. интервал с максимальной частотой. В нашем случае таким интервалом будет интервал от 9 до 12 (4-й интервал). Далее величину моды вычисляем по формуле

,

где – нижняя граница модального интервала;

- размер модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предществующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Медиана – значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для нахождения медианы по интервальному ряду распределения в начале определяем медианный интервал. Им будет первый сверху интервал, в котором накопленная частота больше или равна половине объема совокупности. В нашем случае половина объема совокупности n/2=50/2=25. Первый с верху интервал, в котором накопленная частота больше чем 25 – это интервал от 6 до 9 (в нем накопленная частота равна 26), поэтому этот интервал является медианным.

Далее величина медианы вычисляется по формуле

где – нижняя граница медианного интервала;

- размер медианного интервала;

- частота медианного интервала;

- накопленная частота интервала, предществующего медианному.

3. Определение показателей вариации

Вариация – различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности.

Для характеристики изменчивости отдельных значений признака в статистике используют абсолютные и относительные показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации:

Размах

Среднее линейное отклонение

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Относительные показатели вариации:

Коэффициент осцилляции

Относительное линейное отклонение

Коэффициент вариации

4. Определение показателей формы распределения

Показатель асимметрии

Если As < 0, то асимметрия левосторонняя.

Если |As|>0.5, то асимметрия значительная (существенная), т.е. распределение не может быть признано симметричным.

Показатель эксцесса (островершинности)

,

где μ₄ – центральный момент 4-го порядка

Поскольку Ех <0, то распределение плосковершинное.

5. Проверка соответствия эмпирического распределения нормальному закону

Теоретические частоты для нормального распределения вычисляются по формуле

Таблица 2

Вычисление теоретических частот

№ Инт.	Середина интервала
1	8.5	- 3.996	0.018	0.3
2	11.5	- 2.07	0.127	2
3	14.5	- 0.77	0.465	7
4	17.5	- 0.1	0.905	14
5	20.5	- 0.05	0.951	15
6	23.5	- 0.62	0.54	8.5
7	26.5	- 1.84	0.15	2.5

По результатам вычислений строим график (рис. 5).

Рис. 5. Эмпирическое и теоретическое распределения

Для проверки соответствия эмпирического и теоретическогобудем использовать критерий согласия Пирсона («хи-квадрат»)

.

Применение критерия Пирсона требует выполнения следующих условий:

1) число наблюдений должно быть достаточно большим (n≥50). Данное условие в нашем случае выполняется;

2) теоретические частоты в интервалах должны быть больше 5. Это условие в нашем случае не выполняется для первого, второго и последнего интервала. Поэтому прежде чем вычислять критерий Пирсона произведем объединение интервалов – первого и второго, последнего и предпоследнего. Таким образом из 7 интервалов, которые у нас были в начале, останутся 4.

Таблица 3

Расчет критерия Пирсона

№ Инт.	fi
1	1 2	0.3 2	0.181
2
3	5	7
4	14	14.3	0.006
5	19	15	1.06
6	5 4	8.5 2.5	0.363
7
χ2=			1.61

Применение критерия согласия Пирсона требует использования специальных таблиц. Что бы избежать этого, вычислим на основе критерия Пирсона критерий Романовского

,

где γ=m^*-l-1 – число степеней свободы;

m^* - число интервалов после объединения (в нашем случае m^* =4);

l – число параметров распределения (для нормального распределения l=2).

γ=4-2-1=1;

Задание 2.

Ряд динамики (временной ряд) – значения статистического показателя расположенные в хронологическом порядке. Временной ряд состоит из двух строк (колонок). В первой указываются периоды или моменты времени, а во второй – значения показателя, приходящиеся на эти периоды или моменты. Показатели второй строки (колонки) называются уровнями ряда динамики.

Возьмем первые 4 значения из первой строки исходных данных и расположим их в хронологическом порядке, как это показано в табл. 4.

Таблица 4

Временной ряд

Период времени, t	1	2	3	4
Показатель, y	18	17	18	16

Для анализа временных рядов используются специальные показатели, которые называются показателями динамики. Существует два способа расчета таких показателей: базисный и цепной. При определении базисных показателей текущий уровень ряда динамики y_i сравнивается с базисным уровнем y₀. Если иное не указано, то в качестве базы принимается первый уровень ряда (в нашем случае это значении 11). При вычислении цепных показателей текущий уровень ряда y_i сравнивается с предыдущим y_i-1.

1. Абсолютные приросты

а) базисные

;

;

;

б) цепные

;

;

.