Решение:

Данное дифференциальное уравнение второго порядка допускает понижение своего порядка, так как не содержит у. Тогда в качестве неизвестной функции выберем у′.

Делаем замену вида: y′=z·x, тогда и получаем уравнение:

- это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и получим:

Ответ: − общее решение уравнения, где .

Случай II: уравнение не содержит х.

Тогда в качестве неизвестной функции берётся величина у, а за аргумент принимаем у. При этом производные второго и высших порядков преобразуем по формулам:

y³у=1

Решение:

Данное дифференциальное уравнение второго порядка допускает понижение порядка, так как не содержит х. Принимая y за неизвестную функцию, перепишем заданное уравнение в виде:

Ответ: - общее решение дифференциального уравнения.

у=3х² у(0)=2; у(0)=1

Решение:

Данное дифференциальное уравнение второго порядка допускает понижение порядка, так как не содержит ни у, ни у. Непосредственным интегрированием получаем:

Ищем теперь его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Ответ: и.

Уравнения Бернулли

Если ДУ−I имеет вид: y+р(х)y=q(x)y^m, в котором m0 и m1 (так как при m=0 – оно линейно, а при m=1 – оно является уравнением с разделяющимися переменными).

Уравнение Бернулли сводится к линейному подстановкой z=y^1-m (замечание: при m>1 может быть потеряно решение y=0).

Решение:

Данное уравнение является уравнением Бернулли. Пусть z=у^1-2=у^-1;

Тогда . Подставим полученные значения:

Применим к полученному уравнению метод вариации постоянной:

Составим вспомогательное уравнение: .

z=Cx – общее решение вспомогательного уравнения, где С=const.

Ищем теперь общее решение заданного уравнения в виде: гдеС(х) – некоторая искомая функция от х.

Итак,

Подставим полученные выражения в исходное уравнение

Сделаем обратную замену:

–общее решение заданного уравнения, где С*=const.

Ответ: , гдеС*=const.

Уравнение в полных дифференциалах.

Если ДУ−I имеет вид: P(x; y)dx+Q(x; y)dy=0 (P(x; y), Q(x; y)  непрерывно дифференцируемы), в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x; y), т.е. если существует такая функция u(x; y), что

то оно называется уравнением в полных дифференциалах.

Необходимым и достаточным условием существования такой функции является .

Соотношение u(x; y)=C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах.

Для нахождения функции u(x; y) решается система уравнений

Из первого уравнения этой системы находим с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x); затем из второго уравнения определяется .

Решение:

Найдём

Итак, выполняется равенство: для (х; у).

Находим функцию u(х; у) из системы уравнений:

Получаем - общий интеграл данного уравнения.

Ответ:

2xydx+(x²−y²)dy=0

Линейные дифференциальные уравнения

второго порядка (ЛДУ−II)

ЛДУ−II называется уравнение вида: у+Р(x)у+Q(x)у=R(x), где функции Р(х), Q(x), R(x) не зависят от х.

Если R(x)=0, то уравнение называется уравнением без правой части или однородным ЛОДУ−II.

Если R(x)≠0, то уравнение называется уравнением с правой части или неоднородным ЛНДУ−II.

ЛОДУ−II с постоянными коэффициентами.

ау+bу+cу=0, где а, b, c – некоторые постоянные.

Составим характеристическое уравнение аk²+bk+c=0, которое в зависимости от D может иметь различные решения.

• если D>0, то аk²+bk+c=0 имеет два различных действительных корня k₁ и k₂, тогда ЛОДУ−II имеет общее решение вида:

• если D=0, то аk²+bk+c=0 имеет два совпавших действительных корня k₁=k₂=k, тогда ЛОДУ−II имеет общее решение вида:

• если D<0, то аk²+bk+c=0 имеет два различных комплексных корня k_1,2=i, тогда ЛОДУ−II имеет общее решение вида:

4. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:

D>0	D=0	D<0
у″-2y′-3у=0 Составим характеристическое уравнение: k2-2k-3=0, которое имеет два различных действительных корня у=С1е-х+С2е3х - общее решение, где .	у″-2y′+у=0 Составим характеристическое уравнение: k2-2k+1=0, которое имеет два совпавших действительных корня у=С1ех+хС2ех или у=ех(С1+С2х) - общее решение, где .	у″+2y′+5у=0 Составим характеристическое уравнение: k2+2k+5=0, которое имеет два комплексных корня у=е-х(С1cos2x+С2sin2x) - общее решение, где .
у″+3y′-4у=0 Составим характеристическое уравнение:	у″+4y′+4у=0 Составим характеристическое уравнение:	у″-2y′+10у=0 Составим характеристическое уравнение:
у″+y′-6у=0 Составим характеристическое уравнение:	у″-6y′+9у=0 Составим характеристическое уравнение:	у″+3у=0 Составим характеристическое уравнение: