Метод Лагранжа (метод вариации постоянной).

y′ctgx+y=2

Метод Бернулли.

Итак, решение данного уравнения можно записать в виде y=uv, где u, v – неизвестные функции от х, тогда y′=u′v+uv′.

Подставим полученные у и у′ в исходное уравнение:

(u′v+uv′)ctgx+uv=2;

u′vctgx +uv′ctgx+uv=2;

Сгруппируем слагаемые, содержащие функцию u, которую вынесем за скобки:

* u′vctgx+u(v′ctgx+v)=2.

Сделаем следующее предположение, пусть v′ctgx+v=0 (то есть примем выражение в скобках равным нулю).

Итак, если v′ctgx+v=0, то

• Получили уравнение с разделяющимися переменными:

• Подставим в уравнение * вместо v′ctgx+v – значение 0, а вместо функции v, её найденное значение:

u′·cosx·ctgx+u·0=2  u′·cosx·ctgx =2 

Итак, y=uv, где найдены

у=2+Ccosx, где С=const – общее решение уравнения.

y′=y/х+2х²

Метод Бернулли.

Метод Лагранжа.

• Составим вспомогательное уравнение:

- это уравнение с разделяющимися переменными, итак,

,где С=const - общее решение вспомогательного уравнения.

• Ищем теперь общее решение заданного уравнения в виде: , где С(х)- некоторая функция от х.

.

Подставим полученные выражения в заданное уравнение и найдём С(х):

, где C^*=const,

- общее решение уравнения.

, у₀=0_, х₀=0

Метод Лагранжа.

у=sinx+C*cosx - общее решение;

у=sinx - частное решение (решение задачи Коши).