Уравнения с разделяющимися переменными

Если ДУ−I имеет вид: Р(х)dx+Q(y)dy=0, в котором Р зависит только от х, а Q зависит только от у, то оно является ДУ−I с разделёнными переменными.

Общий интеграл уравнения с разделёнными переменными представляется уравнением:

Если ДУ−I имеет вид: X₁Y₁dy+X₂Y₂dx=0, в котором X₁ и X₂ зависят только от х, а Y₁ и Y₂ зависят только от у, то оно является ДУ−I с разделяющимися переменными и приводится к ДУ−I с разделёнными переменными. Процесс приведения называется разделением переменных.

1. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

у′у=x Итак, , гдеC=const – общее решение уравнения. Найдём частное решение этого уравнения удовлетворяющее начальным условиям (решим задачу Коши): у′у=x, х0=2, у0=0 Получим . Итак, – частные решения уравнения, удовлетворяющие заданным условиям.	у′cosx-ysinx=0 Итак, , гдеC=const – общее решение уравнения.
у′=-2xу	у′=-у2

Однородное ду I порядка (оду I)

Пусть ДУ I имеет вид: Мdx+Ndy=0 – оно называется однородным ОДУ I, если отношение ^M/_N можно представить как функцию отношения ^y/_x. Это отношение обозначим через t:

Тогда с помощью данной подстановки ОДУ I приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Решение:

Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Его общее решение можно найти, производя замену переменной:

Итак, - общее решение однородного уравнения.

Ответ:

Линейное ду−I порядка (лду−I)

Пусть ДУ−I имеет вид: Мdx+Ndy=0 – оно называется ЛДУ−I, если отношение ^M/_N содержит у лишь в первой степени. ЛДУ−I принято записывать в виде у+Р(x)у=Q(x) где Р(x) и Q(x) непрерывные функции от х.

• Если Q(x)=0, то уравнение принимает вид у+Р(x)у=0 и оно называется ЛОДУ−I или линейным уравнением без правой части. В этом случае оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

• Если Q(x)≠0, то уравнение называется ЛНДУ−I или линейным уравнением с правой части. В этом случае его можно решить методом Бернулли или методом Лагранжа.

1. Метод Бернулли.

Решение уравнения у+Р(x)у=Q(x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y=u·v, где u(x) и v(x) – неизвестные функции от х, причём одна из них произвольна, но не равна нулю, пусть v≠0.

y=u·v

y=u·v+u·v

Подставляя выражения у и у в заданное уравнение получаем:

u·v+u·v+Р(x)·u·v=Q(x)

или

u·v+u·(v+Р(x)·v)=Q(x).

Подберём функцию v так, чтобы v+Р(x)·v=0, то есть решим u·v=Q(x) – уравнение с разделяющимися переменными. Ввиду свободы выбора функции v примем в решении данного уравнения постоянную за 0.

Отыскав функцию v, подставим её в заданное уравнение и отыщем вторую функцию u.

Запишем окончательный ответ в виде: y=u·v.